p-groupes

tintin1

Bonsoir à tous,

J'ai une petite question avant d'aller me coucher...

Comment peut-on démontrer que tout p-groupe fini G admet au moins un sous-groupe normal H pour tout ordre divisant l'ordre de G.

En particulier, H sera aussi un p-groupe d'ailleurs !!

Merci pour vos réponses

Alain Debreil

Bonsoir Tintin

On peut prouver cela grâce au fait qu'un $p$-groupe admet toujours un centre non trivial.

Soit $G$ un $p$-groupe d'ordre $p^n$, son centre n'étant pas trivial, il admet (Cauchy) un élément $x$ d'ordre $p$. Alors soit $H_1=\left$ le sous-groupe engendré par $x$, il est dans le centre donc distingué dans $G$. Soit alors $ \pi_1 : G \rightarrow G/H_1 = G_1$ la surjection canonique.
On a $ \vert G_1\vert = \left\vert G/H_1 \right\vert = p^{n-1}$ et $ \ker{\pi_1} = H_1$ est d'ordre $ p$.
$G_1$ est lui-même un $p$-groupe, on peut donc recommencer (si $n\geq 2$) et construire $H_2$ d'ordre $p$ dans le centre de $G_1$, etc.
On obtient $ G \xrightarrow{\pi_1} G_1 \xrightarrow{\pi_2} G_2$ dont $ \ker{(\pi_2\circ\pi_1)}$ est un sous-groupe distingué de $ G$ d'ordre $ p^2$ (facile).
Tant que le quotient n'est pas trivial, on obtient :
$ G \xrightarrow{\pi_1} G_1 \cdots G_{k-1} \xrightarrow{\pi_k} G_k$, dont $ \ker (\pi_k\circ\ldots\circ\pi_1)$ est un sous-groupe distingué de $ G$ d'ordre $ p^k$.

Remarque : j'ai adapté le message que j'avais écrit pour les groupes commutatifs :
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=135853&t=135583#reply_135853}
Ce qui montre que cette démo s'adapte aux groupes nilpotents finis (dont les groupes commutatifs et les p-groupes font partie)

Alain

tintin1

Merci pour ta réponse.
J'étais sur la piste, je suis en plein dans les groupes nilpotents !!