Système fondamental d'idempotents orthogonaux
Bonjour,
Dans mon cours sur les anneaux à un moment j'ai la remarque suivante.
Dès qu'un anneau $A$ contient un système fondamental d'idempotents orthogonaux ${e_{1},\ldots,e_{n}}$,avec $n\geq2$, alors $A$ n'est pas intègre.
J'aimerais obtenir une preuve de cette remarque mais je ne sais pas comment faire.
Je rappelle la définition d'un système fondamental d'idempotents orthogonaux.
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit qu'une famille ${e_{1},\ldots,e_{n}}$ d'éléments de $A$ constitue un système fondamental d'idempotents orthogonaux lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) $e_{i}\ne 0_{A},$ pour tout $i=1,\dots,n$
2) $e_{i}e_{j}= 0_{A},$ quels que soient $i,j=1,\ldots,n,\ i \ne j$,
3) $\sum_{i=1}^n e_{i} = 1_{A}.$
Cela implique la propriété d'idempotence des $e_{i}$ :
4) $e_{i}^{2} = e_{i}$, quel que soit $i$ (idempotence).
Merci d'avance.
Dans mon cours sur les anneaux à un moment j'ai la remarque suivante.
Dès qu'un anneau $A$ contient un système fondamental d'idempotents orthogonaux ${e_{1},\ldots,e_{n}}$,avec $n\geq2$, alors $A$ n'est pas intègre.
J'aimerais obtenir une preuve de cette remarque mais je ne sais pas comment faire.
Je rappelle la définition d'un système fondamental d'idempotents orthogonaux.
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit qu'une famille ${e_{1},\ldots,e_{n}}$ d'éléments de $A$ constitue un système fondamental d'idempotents orthogonaux lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) $e_{i}\ne 0_{A},$ pour tout $i=1,\dots,n$
2) $e_{i}e_{j}= 0_{A},$ quels que soient $i,j=1,\ldots,n,\ i \ne j$,
3) $\sum_{i=1}^n e_{i} = 1_{A}.$
Cela implique la propriété d'idempotence des $e_{i}$ :
4) $e_{i}^{2} = e_{i}$, quel que soit $i$ (idempotence).
Merci d'avance.
Réponses
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Bin tu as deux éléments non nuls, $e_1$ et $e_2$ ayant un produit nul.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Ah oui désolé ma question est trop bête, merci Christophe.
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Hello
Par contre, la définition de ton livre me semble vraiment mauvaise ! La condition $e_i \ne 0$ est vraiment mauvaise. pourquoi ? Simplement car elle n'est pas " schématique " dit de manière simple : si tu as un morphisme d'anneau $\phi : A \to B$ et un système d'idempotents orthogonaux $(e_1,\dots,e_n)$ pour $A$ et bien l'image par $\phi$ de ce système $(\phi(e_1),\dots,\phi(e_n))$ n'est pas forcément un système d'idempotents orthogonaux ! (CATASTROPHE !).
Il faut laisser la posibilité aux $e_i$ d'être nul et reformuler la remarque de ton livre ! -
flipflop, pourquoi c'est une catastrophe si l'image par $\phi$ de ce système $(\phi(e_{1},...,\phi(e_{n})$ n'est pas forcément un système d'idempotents orthogonaux?
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Il y a des tas de morphismes qui ne sont pas injectifs du fait qu'on "aime bien" étudier des quotients de l'anneauAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Hum, notons, pour un anneau $A$, $\text{s.f.i.o}_n(A)$ l'ensemble des systèmes d'idempotent orthogonaux comme toi. Alors par exemple, tu n'as pas par exemple de bijection $\text{s.f.i.o}(A\times
$ et $\text{s.f.i.o}(A) \times \text{s.f.i.o}(B)$.
Oui : $\text{s.f.i.o}_2(\Z^2)= \{ \{ (1,0),(0,1) \}, \{(0,1), (1,0) \}$ et $\text{s.f.i.o}_2(\Z)= \emptyset$.
Si tu enlèves la condition toute pourrie de ton livre, tu répares cette faiblesse !
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Bonjour!
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