Gronwall généralisé ?

Fulgrim

Bonjour à tous
Je suis face à une égalité du type
$$0 \leq \varphi(t) \leq c+\int_0^t \psi(s) \varphi(s)^2ds.
$$ Je me demandais s'il existait un lemme de Gronwall généralisé qui permettrait de conclure quelque chose, comme lorsque le carré est absent. Quelqu'un a déjà vu ça ?
Merci !

O.G.

À ma connaissance rien de bon. Il suffit de voir l'EDO $y'=y^2$ pour s'en convaincre.
Il y a des versions de Gronwall mais avec des exposants $\leq 1$, j'avais aperçu cela dans le livre de Cazenave-Haraux sur les équations d'évolution semi-linéaires...

BobbyJoe

On peut faire formellement les choses mais il faut sans doute imposer des conditions entre $c$ et l'intégrabilité de $\phi.$
En détails, en posant $\displaystyle y(t)=\int_{0}^{t}\psi(s)\phi^{2}(s)ds,$ on obtient (je suppose que $\psi$ est positive ^^) pour $t\geq 0,$ $$\frac{y'(t)}{\left(c+y(t)\right)^{2}}\leq \psi(t).
$$ On obtient alors en intégrant en $0$ et $t$ : $$\frac{1}{c}-\frac{1}{c+y(t)}=\left[ -\frac{1}{c+y(s)}\right]_{s=0}^{s=t}\leq \int_{0}^{t}\psi(s)ds,
$$ d'où en considérant, $A:=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\psi(s)ds<\frac{1}{c}$ : $$y(t)\leq \frac{c^{2}\int_{0}^{t}\psi(s)ds}{1-c\int_{0}^{t}\psi(s)ds}\leq \frac{c^{2}A}{1-cA}.
$$ En réinjectant, il vient : $\displaystyle \phi(t)\leq \frac{c}{1-cA}.$
En gros, tu peux moduler un peu par ce qui t'arrange -en intégrant sur un segment du type $[0,T]$-...mais comme OG l'a stipulé, dans un cas trop général (sans hypothèse additionnelle), on ne peut rien dire!!!

Fulgrim

Merci à tous les deux, ça m'ouvre de nouvelles voies