Exemples élémentaires et amusants d'anneaux

Bonjour à tous,

Je suis en train de préparer un exposé plus ou moins grand public, et j'aimerais illustrer une des idées données par un exemple de structure d'anneau à la fois surprenant pour le profane (disons faisant intervenir des objets qui ne sont pas pensés algébriquement d'habitude) et élémentaire (je ne voudrais pas passer un quart d'heure à expliquer l'exemple, il en perdrait sa pertinence). À titre d'exemple, pour la structure de groupe cette fois, on peut penser aux groupes de tresses : une tresse est un objet visuellement évident, mais multiplier deux tresses peut sembler curieux de prime abord.

Si vous avez des idées à proposer, je suis preneur !

Réponses

  • Salut,
    Il y a les anneaux de Boole du type $({\cal P}(E),\Delta,\cap)$ avec $E$ un ensemble et $\Delta$ la différence symétrique. C'est moins original que des tresses, mais le fait que les opérations ne s'appellent pas explicitement $+$ et $\times$ rend ces anneaux un peu inattendus.
  • C'est en effet un très bon exemple, merci. Je vais voir si je peux en faire quelque chose.
  • Bonjour,

    Et du côté de l'algèbre tropicale ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Salut Rescassol. J'y ai pensé (j'ai travaillé sur ce sujet l'année dernière), mais les nombres tropicaux ne forment pas un anneau car ils n'ont pas d'inverse pour l'addition tropicale. $(\Bbb R\cup\{-\infty\},\max,+)$ est un semi-corps, i.e. un corps sans soustraction. Mais remarque, tu fais bien de le mentionner car c'est original et ça pourra peut-être intéresser Seirios, comme contre-exemple à la limite.
  • Des idées, peut-être trop avancée : l'anneau des fonctions entières a des propriétés algébriques a priori surprenante (par exemple c'est un anneau de Bézout), l'anneau des caractères virtuels d'un groupe (fini), l'anneau de Witt d'un corps...
  • Poirot : Effectivement, c'est trop technique pour ce que je cherche à faire.

    Rescassol : Merci pour cet exemple, je ne connaissais pas.

    D'ailleurs, je ne suis pas attaché à tout prix à la structure d'anneau. Ce qui m'intéresse surtout, c'est une structure axiomatisable qui étend simplement des exemples élémentaires (e.g. les nombres entiers, rationnels, réels) et qu'on retrouve avec des objets exotiques (en tout cas pour le profane).
  • Les anneaux d'entiers quadratiques, réels ou complexes, et leur utilisation pour résoudre des équations diophantiennes en nombres entiers.
  • Seirios a écrit:
    Ce qui m'intéresse surtout, c'est une structure axiomatisable [...] qu'on retrouve avec des objets exotiques

    Les nombres tropicaux, ça c'est exotique ! ;-)

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  • Seirios :
    On retrouve plein de résultats liés aux groupes dans le Rubik's cube. En particulier, le fait que chaque mouvement soit d'ordre fini est un fait remarquable, pas du tout évident pour le profane.
    C'est d'autant plus marquant que certains mouvements très simples sont d'ordre relativement grand (comme par exemple la succession de deux rotations de deux faces ayant en commun une arête est un mouvement dont l'ordre est à peu près 100, je ne me rappelle plus la valeur exacte).

    Pour les anneaux en revanche, je n'ai pas d'idées.
  • Il manque quelque chose sur la photo de plage de Calli.
  • Une naïade ?
  • Pour rester dans les anneaux il y a aussi l'anneau des fonctions arithmétiques avec comme produit la convolution de Dirichlet. En calculant l'inverse de la fonction constante égale à 1 on tombe sur la fonction de Möbius, je ne sais pas si c'est trop compliqué.


    @rémi non les naïades ne tolèrent pas l'eau salée...
  • @raoul c'était juste un mot politiquement correcte pour dire "une femme pas très habillée" mais on s'éloigne du sujet.
  • Les tours autour d'un cercle forment un groupe :-D c'est isomorphe à $\mathbb Z$, mais ça, ton public ne le sait pas.

    (tu peux l'amener au "grand public" à l'aide d'une corde, que tu traines derrière toi le long d'un cercle)
  • Une autre idée : l'anneau gradué $A := \displaystyle\bigoplus_{n=0}^\infty \Omega^nM$ des formes différentielles sur une variété différentielle $M$. On peut l'expliquer sur un exemple : $M =\Bbb R^2\setminus\{0\}$. Je vais essayer d'expliquer comme si je m'adressais à un public non expert. Alors $A$ contient :
    • des objets de dimension 0 que sont les fonctions $M\to \Bbb R$ (différentiables, mais passons),
    • des objets de dimension 1 que sont les champs de vecteurs de $M$ (une petite flèche c'est clairement de dimension 1 même pour des "profanes") $-$ on peut en montrer des exemples dessinés $-$,
    • des objets de dimension 2 que sont les façons de compter la surface, en faisant compter doubles certaines zones ou nulles d'autres (formellement les $f\times \det$ avec $f:M\to \Bbb R$ différentiable),
    • aucun objet de dimension $\geqslant $ 3 car $M$ est de dimension 2
    et on peut additionner formellement ces objets entre eux.
    Pour la multiplication, un objet de dimension $d$ fois un objet de dimension $d'$ donne un objet de dimension $d+d'$ comme ceci :
    • Un objet de dimension 0 fois n'importe quoi d'autre ne fait que changer la taille du n'importe quoi d'autre : la taille des flèches si c'est un champ de vecteur, le poids donné à la façon de compter la surface si c'est un objet de dimension 2.
    • Un champ de vecteur fois un champ de vecteur donne un objet de dimension 2 qui compte la surface proportionnellement à la taille des deux flèches et d'autant plus qu'elles sont orthogonales. Parce que pour compter la surface il faut prendre en compte les deux directions : si les deux champs de vecteurs sont colinéaires, ils sont "coincés" dans une seule dimension et ne peuvent pas compter la surface, donc la multiplication fait 0. Un exemple : multiplier les champs de vecteur $x\mapsto ix$ et $x\mapsto x$ en considérant $M\cong \Bbb C^*$ (faire un dessin).
    • Toute les autres multiplications donnent des objets de dimension $\geqslant$ 3, donc ça fait 0.
    Et on multiplie les sommes d'objets de différentes dimensions en se ramenant à des multiplications élémentaires par distributivité. Tout ça se généralise à d'autres $M$ de plus grande dimension (et ça devient alors plus intéressant, mais plus dur à se représenter).
    Je ne sais pas si c'est compréhensible tout ça, mais voilà. 8-)

    Le truc qui suit après c'est l'anneau gradué de cohomologie $\displaystyle\bigoplus_{n=0}^\infty H^n(M)$, mais c'est plus compliqué (et je n'ai pas tout compris là-dedans).
  • ll y a aussi l'anneau de cobordisme.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Cobordism_ring
  • A-t-on une structure d’anneaux pertinentes sur, par exemple, l’ensemble des droites du plan ?

    J’ai pensé à utiliser les pentes dans un repère mais je crois que c’est très malhabile.
  • Chaurien a écrit:
    Il manque quelque chose sur la photo de plage de Calli.

    Je suis d'accord, il manque moi sur la photo, j'aimerais bien être au soleil sous un palmier B-).
    [size=x-small]Au lieu de ça, je suis confiné depuis une semaine dans ma résidence universitaire à cause de cas de covid dans la structure :-(. Heureusement, je serai déconfiné lundi soir :-). Mais c'est la toute la région qui va être reconfinée lundi matin X:-( (ça n'est pas en France).[/size]
  • Quand on sait que $\Z$ compte les tours autour d'un cercle, on peut introduire $\Z*\Z$ pour le groupe fondamental du plan privé de deux points. Ce groupe permet de trouver des façons de passer une corde autour de deux clous de sorte que si l'un des deux cède, le tableau retenu par la corde tombe – pratique pour un croûte donnée par la belle-mère dont on veut se débarrasser (du tableau, pas nécessairement de la belle-mère). Cf. http://www.mathenjeans.fr/sites/default/files/comptes-rendus/coutras_branne_2016-2017_tableau.pdf.
  • Si (G, * ) est un groupe abélien, alors (hom(G, G), *, o) est un anneau.

    PS: hom(G,G) désigne l’ensemble des morphismes de G dans G.
  • Les entiers modulo 10 (dernier chiffre de $7^{(7^7)}$
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