Interpolation polynomiale

Ratyl

Bonjour, j'ai cette question mais je n'arrive pas à la résoudre.

Déterminer un polynôme Q_a de degré 3 vérifiant Q'_a(a) = 1, Q_a(a) = Q_a(b) = Q'_a(b) = 0.

Merci !

Borelline

Quelles informations cela vous donne ?
1) $a$ racine d'ordre $1$
2) $b$ racine d'ordre $2$

--> Vous savez déjà à quoi ressemble votre polynôme à une constante multiplicative près.

Plus qu'à étalonner votre constante multiplicative pour que $Q_a'(a) = 1$.

gebrane

Une réponse sur mesure (tu)

mcd

Quelle est la différence fondamentale entre interpolation et approximation ?

gerard0

Bonjour.

L'interpolation est le fait d'insérer des valeurs dans une table entre des valeurs connues. La question de Ratyl n'est pas un problème d'interpolation. Il y a différentes procédures classiques qui donnent des résultats différents, car crées pour des buts différents.

L'approximation est le fait de donner une valeur simple et bien connue pour une valeur inconnue, ou trop compliquée; à priori donc une valeur fausse mais utile.

Ensuite, suivant les circonstances, ces mots sont utilisés de façon particulière, très souvent technique.

Cordialement.

mcd

En fait l'interpolation peut servir d'approximation (prendre une interpolation sur beaucoup de points) mais l'approximation ne pourrait servir d'interpolation car on veut des valeurs exactes c'est ça ?

snakeman

Selon moi, une interpolation passe nécessairement par tous les points à interpoler, une approximation pas nécessairement.

Interpolation
(1812). Math., phys. Intercalation de valeurs ou de termes intermédiaires dans une série de valeurs ou de termes connus. Formule d'interpolation. L'interpolation, opération approchée.
Le Grand Robert de la langue française

Approximation
(1740). Math. Calcul par lequel on approche d'une grandeur réelle sans y parvenir rigoureusement ; détermination approchée. Faire une approximation. Méthode, théorie des approximations. Calculer par approximation les racines des équations. Parvenir au résultat par approximations successives. Itération. Mesure effectuée avec une approximation de… - En première approximation : selon un premier calcul, une première estimation approchée.
Le Grand Robert de la langue française

gerard0

Mini_calli,

tu emploies le mot "interpolation" dans un sens qui n'est pas le sien. J'ai l'impression que tu parles de "polynôme d'interpolation de Lagrange" en oubliant 4 mots. Si tu as une série de 10 valeurs d'une fonction, le polynôme d'interpolation de Lagrange prend exactement ces 10 valeurs et fait un peu n'importe quoi ailleurs. Par contre, un polynôme d'interpolation des moindres carrés de degré 5 peut très bien ne prendre aucune des 10 valeurs, mais être une meilleure option. Donc fais très attention à ne pas oublier des mots. Enfin une méthode d'interpolation linéaire donne une fonction affine par morceaux qui est exacte pour les 10 valeurs. L'interpolation ne parle pas des valeurs connues, mais essaie de deviner des valeurs ailleurs.

Enfin, la notion d'approximation n'a rien à voir avec ces procédés, quand on approxime $\pi$ par 3,1416, on n'interpole pas.

Au lieu de te faire une idée floue du sens des mots à partir d'un seul usage, lis leur définition, dans un dictionnaire ou un bouquin de maths.

Cordialement

snakeman

@gérard justement, c'est pas plutôt la méthode d'approximimation par la méthode des moindre carrés?
(Je maintiens que l'interpolation passe par tous les points et donc s'il s'agit de 10 valeurs, passe par définition de l'interpolation par ces 10 valeurs)

mcd

@Gerard0 : En effet je pensais aux polynômes de Lagrange. Je ne vois pas la différence entre approximation des moindres carrés et interpolation des moindres carrés si cela a un sens.

Avez vous un exemple d'interpolation qui n'est pas une approximation, une approximation qui n'est pas une interpolation, une interpolation qui est une approximation et enfin une approximation qui est une interpolation.

gerard0

Je ne sais pas ce que veut dire "approximation des moindres carrés". Une recherche sur internet montre que c'est effectivement assez employé. J'ai utilisé "interpolation" justement parce qu'il ne s'agit absolument pas, en général, de trouver un modèle seulement exact pour les valeurs données (d'autant qu'on l'utilise largement pour des cas où, pour une même abscisse, on a plusieurs ordonnées !), mais un modèle valable entre les valeurs connues ("interpolation"). Mais en général, on parle "d'ajustement d'une courbe" ou "d'un modèle" par la méthode des moindres carrés.
Libre à vous d'utiliser les mots dans des sens vagues, mais il ne faut pas demander la différence !!

Cordialement.

NB : L'origine du mot est le latin "interpolare" falsifier, réparer.

Rescassol

Bonjour,

En général, une interpolation de $n$ points passe par les $n$ points, alors qu'une approximation passe par le premier et le dernier et seulement au voisinage des autres, cette notion de voisinage étant à préciser pour chaque méthode.

Cordialement,

Rescassol