$\Z[X]$ n'est pas principal

Bonjour
Je n'ai pas compris 2 choses dans la solution d'une question d'un exo. Voici la question de l'exo.

Soit $A = \Z[X]$ ; montrer que l’idéal $(2, X)$ n’est pas un idéal principal de $A$.

Voici la solution à cette question.
On suppose que l’idéal $(2, X)$ est un idéal principal de $A = \Z[X]$. Soit $P$ un générateur de cet idéal ; alors $(2, X) = (P)$ et donc il existe $f, g \in Z[X]$ tels que
\[2 = f(X)P(X) \qquad\text{ et }\qquad X = g(X)P(X).

\] Puisque $\Z$ est intègre, on déduit de la première égalité que $d(f) = d(P) = 0$, et donc $P = a,\ a \in \Z,\ a \ne 0$ ; en reportant dans la deuxième égalité, on obtient $X = ag(X)$, donc $g$ est du premier degré, $g = bX + c,\ b, c \in \Z,\ b \ne 0 $, et en identifiant, on obtient
$c = 0$ et $ab = 1$ ; puisque $a, b \in \Z$, on a $a = \pm1$, et donc si l’idéal $(2, X)$ est principal, alors nécessairement $(2, X) = \Z[X]$. Or $1 \in \Z[X]$ ; alors il existe $U, V \in \Z[X]$ tels que $1 = 2U(X) + XV (X)$.
On évalue cette égalité en $0$ ; on obtient $1 = 2U(0)$, ce qui est impossible dans $\Z$.
Donc l’idéal $(2, X)$ n’est pas un idéal principal de $\Z[X]$.

Questions.
1) Je n'ai pas compris en quoi le fait que $\Z$ est intègre a été utile pour montrer que $d(f)=d(P)=0.$
2) Je n'ai pas compris pourquoi si l'idéal $(2,X)$ est principal alors nécessairement $(2,X)=Z[X]$.
Merci d'avance.

[Pour $\LaTeX$, on encadre toutes les expressions mathématiques par des $\$$.
Clique sur "Cite" pour voir le résultat ci-dessus. AD]

Réponses

  • AD je n'ai pas compris qu'est ce que j'ai fait de mal.

    [Tu n'as rien fait de mal ! Je t'indique simplement comment mettre ton message en $\LaTeX$, pour une prochaine fois... ;-) AD]
  • AD tu as modifié mon titre mais du coup moi je ne connais pas la définition d'un anneau principal, je connais seulement celle d'un idéal principal.
  • 1) Si $ab = 0$, alors $(aX)(bX) = 0$ sans pour autant que le degré de $aX$ ni de $bX$ soit nul. L'intégrité permet d'affirmer que $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$ (et donc ici, puisque $\deg(2)= 0$...)

    2) Bah c'est la preuve qui vient d'être faite: s'il est principal, c'est $(P)$, et ce qui se passe avant montre que $P=1$, donc $(P) =\Z[X]$
  • Maxtimax quand tu dis "ce qui se passe avant montre que ..." tu fais référence à quoi? De plus comment tu en déduis que $(P)$= $\Z[X]$ ?
  • Bah... à la preuve qui vient avant l'énoncé "si c'est principal, alors $(2,X) = \Z[X]$". Il y a bien une preuve non, où on étudie $P$ ?

    "donc $P=a$" suivi de "donc $a=\pm 1$"
  • On a montré que si $(2,X)$ est principal, il s'écrit sous la forme $(P)$ et que $P = \pm 1$.
    Donc $(2,X) = (P) = (1)$ ou $(-1)$.
    Calculer, pour un anneau $A$, l'idéal engendré par $1$ (ou $- 1$), te permettra de conclure.
  • Topalg a écrit:
    Je n'ai pas compris en quoi le fait que $\mathbb{Z}$ est intègre a été utile

    Si $A$ est un anneau intègre alors $A[X]$ est un anneau intègre.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • De mon téléphone. Dans le cas particulier où tu es ici c'est purement pédagogique d'être dans les grandes généralités.

    Or ton supposé générateur P vérifie

    P(k) diviseur à la fois de 2 et de k pour tout k.

    Bon il te reste peu de polynômes à réussir ça.

    Ne tiens pas compte "algébriquement" de mon post "en passant", c'était juste pour te dire qu'en maths tu as le droit d'utiliser plusieurs spécialités sur un exo si le but est de le résoudre coûte que coûte.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pour Topalg, ne clique que quand tu estimeras avoir fini de réfléchir seul.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2200070,2200070#msg-2200070
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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