Résolution du paradoxe de l’examen-surprise

Desi14

Résumé. Résolution du paradoxe de l’interrogation surprise en utilisant une analyse chronologique des évènements. En effet, lorsqu’un problème fait intervenir le temps, il faut, nécessairement, que le temps intervienne dans la résolution du problème. C’est le cas pour « l’interrogation surprise » où l’on montrera que l’effet de surprise est par essence même lié au temps.

Introduction.
De nombreuses «solutions» au problème du paradoxe de l’examen surprise sont basées sur des raisonnements du type « la question posée est stupide - c’est l’œuvre d’un professeur fou - » .
Ayant assisté à un certain nombre de conférences dans ma vie, très souvent le conférencier, au moment réservé pour les questions, disait : « il n’y a pas de question stupide, seules les réponses peuvent l’être ». J’adhère totalement à cet adage. En lisant les articles, j’ai l’impression que l’auteur a cherché très longtemps une solution au paradoxe, et, n’en trouvant pas, il s’exclame : « la question posée est stupide » !
J’ai donc personnellement, abordé ce problème sous un angle assez différent : en me plaçant en physicien plutôt expérimentateur que théoricien. Ce qui n’enlève rien à la rigueur du raisonnement.
Je vous propose donc un article, sous une forme très vivante (un dialogue) qui je pense peut être accessible à un large public. Et qui est suivi par une réflexion méthodologique sur la façon de traiter le problème.

lire l'article dans le fichier joint.

christophe c

Pour info, on en a déjà parlé sur le forum**, ça se formalise très bien, contrairement à certains autres "paradoxes" où le malaise va plus se nicher dans le flou. Mais pas ici.

C'est une comptine qui illustre le fait qu'on peut prouver quelque chose de faux avec des axiomes .. faux, ce qui n'est pas une .. surprise :-D

Si tu veux trouver tout seul, tu peux réduire la semaine à 2 jours, ça t'évitera des répétitions inutiles et là, tout est clair.


** j'ai un peu la flemme de chercher le fil.

christophe c

De mon téléphone.

Je soupçonne que la personne qui a inventé cet exercice était matheuse ou physicienne. La raison est que ça ressemble à un truc que je qualifierai de "thésard recalé" traumatisé par un revirement.

Je m'explique : X produit un thèse de 100-150 pages, tout va bien, X soutient et 6mois plus tard, le "main result" saute à cause de l'ingrédient contenu dans cet exercice. Ça me semble un scénario vraisemblable.

Ce "paradoxe" a une nature différente des autres puisqu'on y trouve une preuve CORRECTE d'un truc FAUX basée sur des axiomes CONCRETS et des ATTESTATIONS.

La plupart des paradoxes s'appuie sur de l'informel ou une entourloupe.

Or ici c'est le fait de pouvoir aller TOUS LES MATINS déposer l'attestation annulatrice du devoir qui permet de l'annuler, et ça ressemble à un protocole de laborantins.

ev

Ce problème a été brillamment résolu par Blanquouille la fripouille :

Au dernier moment on remplace l'examen par un contrôle continu.

Une autre question ?

e.v.

Desi14

J’ai dû lire entre 40 et 50 articles, sur plusieurs années, au sujet de l’interrogation surprise, mais je ne les ai pas comptés !
Par contre vous n’avez probablement pas eu le temps de lire, jusqu’à la fin, le document que j’ai écrit. En effet lorsque j’aborde l’analyse du vendredi (l’interrogation n’ayant pas encore eu lieu) cela ressemble comme deux gouttes d’eau à une semaine de deux jours ! (le vendredi et le samedi)

Dans les lectures que j’ai faites, je n’ai jamais vu d’études précises (et encore moins de définitions) sur ce qu’est « l’effet de surprise » et ce n’est que très rarement que le paramètre « temps » apparaît, et si j’ai bonne mémoire c’est plutôt chez des philosophes.
Mon angle d’attaque du problème est tout d’abord la définition de « l’effet de surprise » qui conduit à démontrer qu’il s’agit d’un phénomène intimement lié à l’écoulement du temps. Et par conséquent, cela nécessite une analyse chronologique des évènements, qui débouche sur la démonstration de l’invalidation des raisonnements qui remontent le temps, et donc des raisonnements par récurrence qui remontent le temps.
De façon résumée, voire caricaturale, on peut dire que cette analyse démontre qu’« on ne réécrit pas l’histoire ».

Vous trouverez dans l’article joint des précisions et des exemples sur la résolution du problème.

christophe c

Je te réponds sans avoir lu. Tu as plusieurs aspects dans ce genre de devinettes et je crois que Raymond Smullyan a écrit plusieurs livres remplis de ça, d'ailleurs peut-être que cette devinette est dedans.

Les hypothèses, contradictoires, paraissent "gentilles" parce que basées sur ce qu'on appelle en logique l'autoréférence.

Ce sont des "dilutions" de la phrase $A:=$ "j'implique tout". Je te le décris (même si tu le connais, pour les lecteurs ça peut être intéressant) :

La définition de $A$ est que $A=(A\to Tout)$.
En conséquence de quoi, tu as $A\to (A\to Tout)$, donc $A\to Tout$, donc $A$. Et donc... $Tout$ (du fait que tu as $A$ et $A\to Tout$.

La devinette "dilue" ça (elle n'est pas la seule devinette à le faire, mais celle-ci le fait bien car elle divise par 5 ça, nombre de jours de la semaine).

Si tu le fais sur deux jours, tu retrouves l'autoréférence "primordiale" ci-dessus. Sur 5 jours, c'est plus rigolo.

De plus, pour faire jolie, elle introduit la notion de preuve dans l'histoire, ce qui achève la dilution:

Tu as une preuve de B, donc non(B), de sorte que ça prouve A, ce qui entraine non(A). Finalement, avec deux jours, tu obtiens que l'interro n'a jamais lieu (ni le premier jour A, ni le deuxième jour .

A noter que j'aurais dû te répondre que ce serait encore mieux avec UN SEULE jour: la semaine commence le Lundi et termine.. Le lundi. Comme ça tu vois bien ce qu'il se passe.

Tu as une preuve immédiate de A, donc non(A). En français ça donne:

"vous ne pouvez que mettre l'interro cet après-midi, donc voilà, on vous le dit, donc ça l'annule".
Ce à quoi, le vilain tortionnaire répond "ah bin, je la mets quand-même cet après midi".

Dans ce cas, tu vois bien que le mec est méchant et trahit les étudiants.

Dans le cas où il y a 5 jours, pour chaque jour ils lui amènent la preuve (valable!!) qu'elle aura lieu ledit jour, donc annulent l'interro.

Mettons qu'il la mette Mercredi: ils peuvent lui dire "on vous a prouvé qu'elle serait cet après-midi". Et s'il répond "et bé, je vous la mets quand-même cet après midi", sa méchanceté ne se voit que si tu écris le présent dialogue. Mais si tu prends une assemblée d'étudiants extérieurs à qui tu racontes l'histoire, évidemment ils vont trouver que c'est bizarre, il ne vont pas voir sa méchanceté.

Maintenant tu te demandes peut-être à quel titre les preuves apportées sont valables.

Et bien comme toujours en maths, elles ne le sont que parce que "le sceptique" veut bien qu'elles le soient, c'est tout. Il y a un certain nombre d'hypothèses sur lesquelles leur preuve est basée, c'est tout.

A noter que si tu changes la règle du jeu et dit qu'ils ne peuvent venir qu'une seule fois (un seul jour de la semaine), tout tombe à l'eau. L'histoire prend aussi parce que ce point est n'est pas précisé: en effet, pour chaque jour $x$ il existe une preuve $p_x$ que l'interro aura lieu l'après-midi du jour $x$, sauf que les preuves dupliquent les hypothèses faites une seule fois (je me suis servi de ça dans l'autoréférence primordiale, le passage qui a l'air inoffensif de A=>(A=>B) à (A=>B))

Ca fait tomber tout à l'eau s'ils ne peuvent jouer le coup qu'un seul jour, car ils feront alors annuler le devoir par exemple le mardi et c'est tout.

En outre du fait du caractère contradictoire des hypothèses, évidemment que les preuves prouvent des trucs faux, il n'y a pas lieu de s'étonner qu'il y ait une preuve que l'interro ait lieu le jeudi par exemple. Note que les hypothèses entrainent qu'il y a une interro chaque jour

Le caractère "surprise" ne joue aucun rôle. Il invite à la philosophie si on veut, mais cette énigme est totalement formelle.

Wilfrid

Desi14 a écrit:

je n’ai jamais vu d’études précises (et encore moins de définitions) sur ce qu’est « l’effet de surprise »

Imaginons une ville soudainement secouée par un tremblement de terre dévastateur. Les survivants sont totalement surpris, n'est-ce pas, et à coup sûr en état de choc !

Supposons maintenant qu'un sismologue, après avoir relevé les données des capteurs disséminés dans la région, en ait déduit qu'un tremblement de terre allait se produire dans la semaine et en ait averti la population. Du point de vue des dégâts occasionnés, ça ne fait aucune différence. Ce qui change est le fait qu'une certaine partie des habitants aura pu s'éloigner de la ville en prévision de la catastrophe, laquelle aura donc probablement fait moins de victimes. L'effet de surprise sera également réduit, voire annulé, puisque tout le monde s'y attendait. Le temps est-il intervenu dans ce cas précis ? Absolument pas.

Tu vois, ce n'est pas la peine de faire des études sur l'effet de surprise pour comprendre de quoi il s'agit.

Dans le cas de l'interro, il n'y a aucun effet de surprise puisque tous les élèves savent qu'elle va avoir lieu. Cet effet aurait existé si le prof n'en avait pas parlé.

christophe c

Je prends une simplification qui résume tout les apsects "diluant":

on ne demande plus une preuve, mais une prévision.

Et bien si tu ne précises pas les règles du jeu, les étudiants iront chaque matin dire "on prévoit qu'elle est cet après-midi". Et il la feront annuler chaque jour (dont fait partie le supposé bon jour)

S'ils ne peuvent aller qu'un seul matin, c'est un jeu à pari.

L'aspect "vous devez venir me voir EN PROUVANT que vous avez raison, pas juste en L'AFFIRMANT" semble changer quelque chose car les gens sont habitués à ce qu'on ne puisse prouver que des choses qui sont vraies.

Mais il n'en est évidemment rien (en dehors bien entendu, a priori des preuves sans aucun axiome, mais bon, avec elles on raconte pas des histoires concrètes)

Desi14

L’effet de surprise concerne, pour les élèves, non pas l’interrogation en tant que telle, mais la date à laquelle elle aura lieu. Il s’agit bien d’un environnement donné et précis : le calendrier (la date) et les élèves de cette classe. Car, bien sûr, le professeur n’aura pas de surprise (ni pour la date ni pour le contenu de l’interrogation) ; le rectorat et peut-être l’administration n’auront pas de surprise sur la date (qui leur a été communiquée à l’avance), mais ils ne connaitront peut-être pas, à l’avance, le contenu. L’effet de surprise concerne donc un groupe précis à un moment donné (c’est là que le temps intervient et peut-être aussi le lieu). Les habitants s’ils ne reçoivent l’information (le message du sismologue) que le lendemain du séisme auront été surpris par l’évènement. Le sismologue, qui surveille ses instruments, à un autre endroit, lui n’aura peut-être pas été surpris, par le même évènement, car il est dans un autre lieu (il n’est pas parmi les habitants).

Desi14

Tous les exemples donnés montrent que, quel que soit l’évènement postérieur à « l’effet de surprise », il ne peut pas avoir d’influence sur cette surprise. L’information fournie par cet évènement postérieur devrait remonter le temps ce qui est contraire à toutes les bases de la physique, et en particulier à :
1. Relativité restreinte et relativité générale
2. Principe de causalité : « la cause précède l’effet (la conséquence) ». Le verbe « précède » signifie : est nécessairement antérieure.

Cet évènement postérieur peut être :
soit un acte qui n’était pas connu des élèves AVANT « l’effet de surprise » (pièce fausse par exemple)
soit un raisonnement logique qui ne pouvait pas être fait, ou avéré, AVANT « l’effet de surprise » (par exemple, le raisonnement du samedi qui débute par « si le samedi matin l’interrogation n’a pas encore eu lieu » qui peut ne pas être vrai le vendredi, donc il est indéterminé le vendredi).

Je conviens qu’il s’agit, bien sûr, d’un raisonnement de physicien, mais si l’on abandonne le Principe de causalité, je ne sais pas si la logique formelle (dans l’hypothèse où elle peut continuer à fonctionner, ce qui est hors de mes compétences) peut encore servir à quelque chose.

Fly7

1. Relativité restreinte et relativité générale
Et la non localité?

christophe c

@desi14 : tout ceci est passionnant (dommage que tu n'aies pas évoqué le mulmondisme qui est le trait le plus profond et important, en fait, de la physique actuelle), mais je doute que tu puisses trouver dans cette énigme formelle de quelques lignes de quoi se connecter à ces sujets de fond.

Dans l'énigme, il n'y a aucune affaire de surprise, mais de non connaissance (ou pas) de quelque chose. Et le seul endroit où ça joue c'est dans le droit ou pas de tenter plusieurs fois sa chance en allant le matin avec une prose.

Comme il existe pour chaque jour une prose acceptable, si tu as le droit d'y aller chaque matin, tu annules chaque après midi et l'interro n'existe pas.

Si tu ne peux te présenter qu'une fois, je le répète, avec une prose acceptable, ça ne change rien, tu l'as dans l'os. Non pas parce que ta prose est défaillante, mais parce que tu ne peux pas la présenter au prof.

J'insiste: si tu portes ta prose le vendredi matin (en ayant parié et gagné par chance que l'interro n'a pas été mise avant) tu la gaspilles à perte si le prof te répond "merci, oui vous êtes venu avec une preuve valable, mais pas de bol, l'interro est demain"

Comme les hypothèses autoréférentes de la devinette sont dynamiques, il n'existe d'ailleurs AUCUNE prose acceptable en dehors du samedi matin, si tu intègres la règle d'au plus une visite matinale dans les axiomes. Le seul jour gagnant est le samedi après midi et seulement pour lui, une prose gagnante existe.

Desi14

Nouvelle formulation avec un exemple complémentaire. (voir le fichier joint)
(fichier corrigé, il y avait une faute de frappe)

Wilfrid

Je cite la réflexion que se fait Mathilde, une des élèves de M. Martin, pour ceux qui n'ont pas envie de se taper le pdf :

"Nous avons cours avec Monsieur Martin le lundi, le mardi, le mercredi, le jeudi, le vendredi et le samedi. Puisqu’il nous dit que nous ne pourrons pas connaître le jour de l’interrogation, celle-ci ne se déroulera pas le samedi, car samedi matin, sachant que l’interrogation se fera dans la semaine (affirmation a), elle ne pourrait avoir lieu que le samedi et donc nous saurions de manière certaine qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis que l’interrogation n’aura pas lieu le samedi. Mais alors, le vendredi, elle ne peut pas avoir lieu non plus, car sachant qu’elle ne peut pas avoir lieu le samedi, quand nous arriverons dans la classe le vendredi, nous saurons qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis aussi que l’interrogation n’aura pas lieu le vendredi."

C'est si mal exprimé qu'on rate l'essentiel. Une version plus explicite serait :

"L’interro ne peut pas avoir lieu le samedi, car si elle n'a pas eu lieu les jours précédents (du lundi au vendredi) nous saurons dès vendredi soir qu'elle aura lieu le lendemain, ce qui annulera l'effet de surprise". Tout est dans le "si elle n'a pas eu lieu les jours précédents" : lorsque les élèves arrivent en cours du lundi au vendredi ils n'ont aucun moyen de savoir si l'interro aura lieu ou non ce jour-là. Si ce n'est pas le cas, lorsque le samedi arrive ils savent avec certitude qu'elle va avoir lieu.

C'est le terme "effet de surprise" qui pose problème. Si on le remplace par "incertitude" (du lundi au vendredi) ou par "certitude" (le samedi), la situation est parfaitement claire et il faut vraiment se faire des nœuds au cerveau pour y voir un paradoxe.

Wilfrid

Wilfrid a écrit:

... il faut vraiment se faire des nœuds au cerveau pour y voir un paradoxe.

En fait c'est l'énoncé lui-même qui permet ce tour de passe-passe. Soit $n$, le nombre de jours consécutifs, à partir du lundi, durant lesquels les élèves ont cours avec M. Martin. Les $n-1$ premiers jours les voient dans l'incertitude quant à l'éventualité d'une interro ce jour-là ; si elle n'a toujours pas eu lieu lorsque arrive le jour $n$, alors ils sont certains d'y avoir droit avant la fin de la journée.

Dans la première partie de son énoncé, @Desi14 déclare que $n$ est une constante égale à 6. Il introduit l'idée d'un paradoxe dans la seconde partie en transformant cette constante en variable égale successivement à 6, 5, 4, 3 et 2, ce qu'il traduit par l'assertion : "en poursuivant de la même manière, Mathilde en déduit que l’interrogation ne peut avoir lieu ni le jeudi, ni le mercredi, ni le mardi, ni le lundi, et donc qu’elle n’aura pas lieu". Il n'était pas nécessaire de parler du lundi : si $n=1$ il n'y aura de toute façon aucune surprise.

L'édifice repose entièrement sur l'idée que l'interro doit surprendre, c'est-à-dire être imprévisible. Comme seule une interro le jour $n$ peut être prévisible, l'astuce consiste à décrémenter $n$ jusqu'à montrer qu'aucun jour de la semaine ne pouvant être qualifié d'imprévisible, l'interro n'aura jamais lieu. Mais puisque par définition $n$ ne peut pas être décrémenté, ce raisonnement est faux.

Desi14

1. Solution du paradoxe de l’interrogation surprise

par un raisonnement strictement logique

Résumé. Cet article propose une solution au « paradoxe de l’interrogation surprise », problème qui a été publié par D.O’Connor en 1948, et qui n’a pas trouvé d’explication logique depuis plus de 75 ans. La plupart du temps, les erreurs commises dans les raisonnements logiques en « langage courant » sont dues à des hypothèses implicites, sous-entendues, et c’est, en particulier, le cas pour notre problème.

Mots-clés : paradoxe, paradoxe de l'examen-surprise, paradoxe philosophique, logique mathématique, paradoxe de l’interrogation-surprise, raisonnement par l’absurde.

A – Énoncé du « paradoxe »

1. Monsieur Martin, professeur de mathématique, annonce à ses élèves qu’il fera une interrogation surprise la semaine suivante.

   (a) une, et une seule, interrogation aura lieu durant un des cours dans la semaine (du lundi au samedi).

   (b) juste avant le début de l'interrogation, les élèves ne pourront pas avoir la certitude logique que l'interrogation aura lieu le jour même.

   « Jacques, le meilleur élève en mathématiques de la classe, raisonne alors ainsi :

   Nous avons cours avec Monsieur Martin le vendredi et le samedi. Puisqu’il nous dit que nous ne pourrons pas connaître le jour de l’interrogation, celle-ci ne se déroulera pas le samedi, car samedi matin, sachant que l’interrogation se fera dans la semaine (affirmation a), elle ne pourrait avoir lieu que le samedi et donc nous saurions de manière certaine qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis que l’interrogation n’aura pas lieu le samedi. Mais alors, le vendredi, elle ne peut pas avoir lieu non plus, car sachant qu’elle ne peut pas avoir lieu le samedi, quand nous arriverons dans la classe le vendredi, nous saurons qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis aussi que l’interrogation n’aura pas lieu le vendredi.

   En poursuivant de la même manière, Jacques en déduit que l’interrogation ne peut avoir lieu ni le vendredi, ni le jeudi, ni le mercredi, ni le mardi, ni le lundi et donc qu’elle n’aura pas lieu. Pourtant, le mercredi de la semaine suivante, Monsieur Martin fait son interrogation à la grande surprise de Jacques. Monsieur Martin n’a pas menti puisque (a) l’interrogation s’est bien déroulée dans la semaine prévue comme il l’avait annoncé, et que (b) Jacques a été surpris le jour de l’interrogation. Le raisonnement de Jacques semble pourtant parfaitement rigoureux. » (JP Delahaye, 2014)

B – Notre raisonnement

B.1 – Définition précise de « l’effet de surprise »

L’assertion (b), donnée par le professeur et correspondant à l’effet de surprise, suppose l’adoption d’une hypothèse. Il s’agit d’une proposition, que pratiquement tout le mode admet, plus ou moins consciemment, car elle est toujours vérifiée dans la vie courante. Cette assertion concerne la non-connaissance de l’avenir. Qui s’exprime, dans notre cas, de la façon suivante : le jour « J » il nous est impossible de savoir avec certitude ce qui se passera le jour « J+1 » et les suivants. Ce qui oblige, entre autres, à ne faire que des raisonnements purement chronologiques.

Pour qu’un « effet de surprise » puisse se produire, il faut nécessairement deux conditions :

1. Admettre l’hypothèse de non-connaissante de l’avenir.

2. Disposer à l’instant où les élèves se posent la question «  quand l’interrogation aura-t-elle lieu ? », d’au moins deux réponses logiquement possibles. Par exemple : l’interrogation peut, logiquement, avoir lieu aujourd’hui ou demain.

B.2 – Principe de notre raisonnement

Nous allons donc, dans ce paragraphe, étudier chronologiquement « l’état logique » de chacune des journées de la semaine (du lundi au samedi).

Habituellement, les élèves (ainsi que les professeurs d’ailleurs) considèrent que pour chacun des jours de la semaine, il y a deux possibilités logiques :

• soit l’interrogation a lieu le jour même

• soit l’interrogation aura lieu plus tard

ERREUR ! ! s’écrit Mathilde, une excellente élève en mathématiques, ce raisonnement est faux, car incomplet. Pour être rigoureux, il faut ajouter une troisième possibilité, qui, dans les raisonnements habituels, est implicite, ou sous-entendue : « l’interrogation a déjà eu lieu ».

Par conséquent, une journée est caractérisée par les trois assertions suivantes :

1. soit l’interrogation a déjà eu lieu

2. soit l’interrogation a lieu le jour même

3. soit l’interrogation aura lieu plus tard ( un jour suivant )

B.3 – Démonstration

La situation de chacun des jours de la semaine est la suivante :

Pour le lundi, l’assertion « I. » est fausse. Le lundi étant la première journée de la période, l’interrogation ne peut pas déjà avoir eu lieu. Les deux autres assertions étant valides, il n’y a pas de certitude logique pour que l’interrogation ait lieu le lundi (et si elle a lieu ce sera une surprise).

Pour les quatre jours suivants (mardi, mercredi, jeudi, vendredi), les trois assertions sont vraies. Ce qui fait trois possibilités, il n’y a donc pas de certitude logique, non plus, pour que l’interrogation ait lieu l’un de ces jours là (et si elle a lieu ce sera une surprise).

Pour le samedi, l’assertion « III. » est fausse. Le samedi étant la dernière journée de la période, l’interrogation ne peut pas avoir lieu plus tard. Et, l’assertion « II. », elle aussi, est fausse, car le samedi étant le dernier jour de la période, le samedi matin il ne reste plus qu’une seule journée, donc les élèves sauraient, à l’avance et de façon certaine, que l’interrogation aurait lieu le samedi, ce qui est contraire à la proposition (b) édictée par le professeur. Il ne reste donc qu’une seule alternative, l’assertion I : « le samedi matin, l’interrogation a déjà eu lieu ».

C – Conclusion

On peut résumer la démonstration qui vient d’être faite en 3 points  :

• L’interrogation a forcément lieu l’un des cinq premiers jours de la semaine, car pour le samedi, la seule possibilité logique vraie est « l’interrogation a déjà eu lieu ».

• Pour chacun des cinq premiers jours de la semaine, il existe plusieurs possibilités, par conséquent il n’y a aucune certitude logique sur la date exacte de l’interrogation.

• Comme il ne peut y avoir qu’une et une seule interrogation dans la semaine, il n’y a qu’un, et un seul, jour concerné. Dès que l’interrogation a lieu (le jour « J » par exemple) le problème est terminé : l’interrogation a eu lieu le jour J avec surprise. Et pour tous les jours suivants, l’assertion I devient vraie : « l’interrogation a déjà eu lieu » et comme l’interrogation ne peut avoir lieu qu’une seule fois, les assertions II et III sont fausses.

Il s’en suit que : « l’interrogation a lieu l’UN des 5 premiers jours de la semaine ». Et, comme pour chacun de ces jours, il existe plusieurs alternatives : «  il est impossible de déterminer la date exacte de l’évènement », par conséquent, le jour où l’interrogation a lieu, c’est une surprise.

Il s’en suit qu’il n’y a aucun paradoxe dans ce problème et l’expérience confirme la démonstration qui vient d’être faite.

D – Complément : les principales erreurs du raisonnement habituel que fait Jacques

D.1 - Le samedi

Le raisonnement correct de Jacques devrait être :

1. D’après l’assertion (a) l’interrogation doit avoir lieu le samedi.

2. D’après l’assertion (b) l’interrogation ne doit pas avoir lieu le samedi.

Il y a donc un paradoxe ? Le samedi, l’interrogation doit, à la fois, avoir lieu et ne pas avoir lieu.

En réalité, il n’y a pas de paradoxe, il s’agit simplement d’un raisonnement par l’absurde. Dans une implication vraie « SI X ALORS Y » lorsque Y est faux (ou absurde) alors X aussi, est obligatoirement faux (voir E). Dans notre cas, l’hypothèse, plus ou moins explicite, que tout le monde fait est : X = « le samedi matin, l’interrogation n’a pas déjà eu lieu ». La conclusion Y étant absurde (fausse), l’hypothèse X est donc, elle aussi, fausse. La proposition « le samedi matin, l’interrogation n’a pas déjà eu lieu » étant fausse, son contraire est vrai, donc la conclusion logique correcte est : le samedi matin, l’interrogation a déjà eu lieu.

D.2 - Le vendredi

Pour continuer sa démonstration, tout à fait par hasard ! !, sans aucune raison logique, Jacques choisi la solution (β) qui se trouve être, par miracle !, la bonne solution ! (Car comme nous l’avons démontré, la solution correcte est : « le samedi, l’interrogation a déjà eu lieu  » ce qui signifie, en particulier, que le samedi l’interrogation ne peut pas avoir lieu une seconde fois.)

Mais, il y a aussi une autre erreur de logique.

L’hypothèse, implicite, de « la non-connaissance de l’avenir », est évidente pour chacun d’entre nous, car elle appartient au monde réel. Mais elle est violée, par le raisonnement de Jacques. En effet, pour démontrer ce qui se passe le vendredi, le raisonnement habituel s’appuie sur ce qui se passera le lendemain (le samedi) !!

Le jour « J » on suppose savoir ce qui se passera le jour « J+1 » ce qui viole la « non-connaissance de l’avenir » et qui annule, par conséquent, toute possibilité de surprise comme le demande l’assertion (b) imposée par le professeur.

Personne ne connaît à l’avance l’avenir (sauf, peut-être à lire des horoscopes ! ! ! ). Si l’on connaissait l’avenir, aucune surprise ne serait possible.

Ceci signifie, entre autres, que le raisonnement rétrograde (par récurrence ou non) est logiquement invalide.

E – Annexes

1. E.a - Table de vérité de l’implication [ A => B ou SI « A » ALORS « B » ]

D ans la table de vérité, V signifie Vrai et F signifie FauxDans le langage mathématique courant, la démarche que nous utilisons s’appelle «raisonnement par l’absurde». Pour tester la validité d’une hypothèse, on analyse toutes ses conséquences. Si elles sont toutes fausses, c’est que l’on s’est trompé, notre hypothèse de départ était fausse. C’est ce qui apparaît sur la dernière ligne de la table de vérité ci-contre. Dans une implication valide (vrai) lorsque B est faux, la seule ligne possible dans la table est la dernière : A est obligatoirement faux. Habitant CAEN, je peux témoigner du bon sens des arboriculteurs normands qui leur fait dire : si mon arbre est un Pommier alors [cela implique que] c’est un arbre fruitier. Et lorsque l’arbre de mon voisin n’est pas un arbre fruitier : ce ne peut pas être un pommier !

E .b - Une démonstration du « raisonnement par l’absurde »

1. La démonstration est assez pédagogique en théorie des ensembles.

   Soit F l’ensemble des arbres Fruitiers et P l’ensemble des Pommiers.

   P est un sous-ensemble de F (P est contenu dans F) donc tout élément de P est aussi un élément de F, ce qu’illustre le schéma ci-contre.

   En logique, l’implication suivante est donc valide :

   SI « P est vrai » ALORS « F est vrai » c’est-à-dire

SI « mon arbre est un pommier » ALORS « c’est un arbre fruitier ». Et en passant à la formule contraposée :Tout ce qui n’appartient pas à F (c’est-à-dire ce qui est situé à l’extérieur de F)ne peut pas, non plus, appartenir à P, car P est à l’intérieur de F (tout élément de P appartient à F).En logique, on obtient :SI « non-F est vrai » ALORS « non-P est vrai » c’est-à-dire SI « mon arbre n’est pas un arbre Fruitier » ALORS « ce ne peut pas être un Pommier ».

zeitnot

"Monsieur Martin, professeur de mathématique, annonce à ses élèves qu’il fera une interrogation surprise la semaine suivante. "

Une interrogation annoncée à l'avance, n'est plus surprise. FIn du paradoxe.

Dom

« qui n’a  pas  trouvé  d’explication  logique  depuis  plus de 75 ans » 
Est-ce bien sérieux d’écrire ça ?

Je propose un exercice plus court : 
« Chers élèves, lundi, et lundi uniquement, je ferai une interrogation surprise. Cela dit si l’interrogation n’est pas une surprise alors elle n’aura pas lieu. Mais je dis qu’elle aura lieu quand même ! »
Nous voici lundi…
- m’sieur il n’y aura pas d’interro
- pourquoi ?
- parce que on sait tous qu’il y en avait une de programmée 
- et alors ?
- et bien comme elle est programmée, elle n’est plus « surprise »
- ok, tu as raison. Tout le monde est d’accord ?
- OUIIIIIII (de toute l’assistance)
- et bien j’en fait une, tiens, allez, interro !!!
- [florilège de jurons] ha non ! pas normal ! comment ça ? c’est quoi ? wesh ?! 

- quoi ? Quel est le problème ?
- ben normalement il n’y en avait pas. 

- oui, on est d’accord… mais du coup ça vous surprend si j’en fais une, alors j’en fais une 

Voilà fermons le ban !