Limite sup VS limite inf

Bonjour à tous
Comment expliquer à des élèves de 1ere année de prépa que
$$
x \in \bigcap_n \bigcup_{k \geqslant n} A_k
\quad \iff \quad
\text{$x$ appartient à une infinité de $A_i$}.

$$ Une façon de faire est de montrer (ce qui est facile) la négation :
$$
x \notin \bigcap_n \bigcup_{k \geqslant n} A_k
\quad \iff \quad
\text{$x$ appartient à un nombre fini de $A_i$}.

$$ Mais peut-on de manière directe (sans passer par la négation) explicitement construire un ensemble infini d'indices $I$ tel que... ?
Merci pour vos idées.

Réponses

  • Bonjour.

    Peut-être une preuve à la Euclide (infinité des entiers premiers) ?
    $x$ appartient à l'intersection, donc à chacune des réunions. Faisons la liste des $A_i$ auxquels il appartient. Pour tout entier n, on peut supprimer de la liste les $A$ d'indices inférieurs, puisque x est dans $\bigcup_{k \geqslant n} A_k$, donc il reste des $A_i$ d'indices supérieurs.

    La vraie difficulté est qu'ils aient une saine intuition de ce que signifient les union et inter (dans une théorie naïve des ensembles, c'est suffisant). Sans cette habitude, c'est mort : Ce ne sont que des écritures.

    Cordialement.
  • Peut être tu peux remplacer les Intersection par "Quelque soit" et Union par "Il existe"

    Quelque soit n, il existe k > n tel que x appartient à Ak

    Ensuite tu peux faire une frise :

    n = 1 tu trouves k1
    n = k1+1 tu trouves k2 > k1
    etc
  • Soit $(T_i)_{i\in I}$. Alors par définition, (1) pour tout $u$, $u$ appartient à $\bigcup_{i\in I} T_i$ si et seulement si il existe un $k\in I$ tel que $T_k$. De même (2) pour tout $v$, $v$ appartient à $\bigcap_{i\in T_i}$ si et seulement si pour tout $j\in I$, $v\in T_j$.

    Etant donnée une famille $A$ indexée par $\N^2$, l'application successive des deux points précédents fournit pour tout $x$:
    $x\in \bigcap_{n\in \N} \bigcup_{k\geq n} A_{n,k}$ si et seulement si (1) pour tout entier $n$, $x\in \bigcup_{k\geq n} A_{n,k}$; et ceci ce produit si et seulement si (2) pour tout entier $n$, il existe $k\geq n$ tel que $x\in A_{n,k}$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • > n = 1 tu trouves k1
    > n = k1+1 tu trouves k2 > k1

    Merci Noobey, c'est exactement cet argument que je cherchais ($n = k_1 + 1$).

    Merci à tous pour vos réponses.
  • Ma méthode ce serait de prononcer á haute voix la définition de ces ensembles.

    $\lim \sup A_n $ : "pour tout entier $n$, je peux réaliser au moins un événement $A_k$, $k \geq n$ "
    Donc si je réalise déjá les événements $A_{n_1}, \cdots, A_{n_p}$, je vais également réaliser un événement $A_i, i \geq n_p $ donc en fait je réalise une infinité d'événements $A_{n_1}, A_{n_2}, \cdots, A_{n_p}, \cdots $

    C'est comme la définition de l'uniforme continuité, on comprend ce que c'est en dessinant "la boite". Pour les lim sup et lim inf, je trouve que c'est plus facile en l'exprimant avec du francais.

    Edit : Mince j'avais pas vu que ca datait de 7 jours, navré pour le déterrage
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