Idéal maximal et corps

Bonjour,
J'ai le théorème suivant.

Théorème. Dans un anneau unitaire et commutatif A, on a :
\[ I \text{ est un idéal maximal } \Leftrightarrow A/I \text{ est un corps}

\] Voici la preuve (tirée d'un livre).
Preuve. Si $A/I$ est un corps, on a nécessairement $I \ne A$. D'autre part, supposons $J$ idéal de $A$ tel que $I \subsetneq J$ (lire $I$ inclus strictement dans $J$) ; alors $J/I$ est un idéal non nul du corps $A/I$, donc $J/I=A/I$. Par suite $J=A$, donc $I$ est un idéal maximal de $A$.
Réciproquement, soit $I$ un idéal maximal de $A$, alors $A/I$ est non nul et c'est un anneau unitaire commutatif ; la maximalité de $I$ implique que $A/I$ n'a pas d'autre idéal que $(0)$ et $A/I$, donc $A/I$ est un corps.

J'ai plusieurs questions sur cette preuve.
1) Pourquoi $J/I$ est un idéal du corps $A/I$ (il faudrait justifier pourquoi d'une part $J/I$ est un idéal et d'autre part pourquoi du corps $A/I$) ?
2) Est-ce qu'on pourrait justifier dans la réciproque pourquoi $A/I$ est un anneau unitaire commutatif ?
3)Pourquoi la maximalité de $ I$ implique que $A/I$ n'a pas d'autre idéal que $(0)$ et $A/I$ ?
Merci d'avance.

[Pour $\LaTeX$, on encadre toutes les expressions mathématiques par des $\$$. AD]

Réponses

  • Il y a une correspondance entre ideaux de $A/I$ et ideaux de $A$ contenant $I$, donnée par $J\mapsto \pi(J)$ (ici $\pi$ est l'application de passage au quotient) et par $J\mapsto \pi^{-1}(J)$ dans l'autre sens. Ces deux applications sont inverses l'une de l'autre.

    Pour ta question 2), le quotient d'un anneau commutatif unitaire par un ideal est toujours un anneau commutatif et unitaire.
  • NoName, le fait qu'il y a une correspondance entre idéaux de A/I et idéaux de A contenant I, ça entraîne quoi ?
  • Et bien, ta question 1 et ta question 3). ^^
    Enfin techniquement ca n'implique pas ta question 1), mais disons que ca donne une autre façon de voir $J/I$ qui devrait rendre clair le fait que c'est un idéal de $A/I$.
  • Excuse moi NoName, mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi cette correspondance entraine la question 1 ni même la question 3. De plus je n'arrive pas à voir J/I d'une autre façon. Pour l'instant je suis dans la phase où j'apprend mon cours sur les anneaux mais je n'arrive pas à me former des images mentales...
  • Peut être que ça m'aiderait de savoir comment tu te représentes un idéal d'un anneau
  • Pour la 1), $J/I$ c'est l'image de $J$ dans $A/I$ (par $\pi$), prend $\pi(j)$ dans cet image, et $\pi(a)$ un élément quelconque de $A/I$, alors $\pi(a).\pi(j)=\pi(aj)$ et $aj$ est dans $J$.

    Pour la 3), si $K$ est un ideal de $A/I$ contenant strictement $(0)$, alors $\pi^{-1}(K)$ est un ideal de $A$ contenant strictement $I$, c'est donc $A$ par maximalité de $I$ et donc $K=A/I$.
  • Noname pour la 3) pourquoi $\pi^{-1}(K)$ va contenir strictement $I$ ?
  • Ben par ma remarque de plus haut:
    Il y a une correspondance entre ideaux de $A/I$ et ideaux de $A$ contenant $I$, donnée par $J\mapsto \pi(J)$ (ici $\pi$ est l'application de passage au quotient) et par $J\mapsto \pi^{-1}(J)$ dans l'autre sens. Ces deux applications sont inverses l'une de l'autre.
  • Merci Noname pour toutes les explications j'ai compris la 3) mais pour la 1) je compte demander à un prof que j'avais eu pour voir s'il peut m'aider.
  • Et si tu cherchais à montrer à la main que $J/I = \{\pi(x) \mid x \in J\}$ est un idéal de $A/I$ ?
  • Poirot je ne sais pas comment sont définies l'addition et la multiplication sur J/I .
  • Tu devrais le savoir pourtant, ce sont les mêmes lois que dans $A/I$.
  • Malheureusement je ne sais pas comment m'y prendre, je veux dire que je sais en théorie ce que je dois montrer mais dans ce cas là je ne sais pas comment faire.
  • Je pense que tu sais calculer $\pi(x+y)$ et $\pi(a) \pi(x)$ pour $x,y \in J$ et $a \in A$.
  • Montrons tout d'abord que J/I est un sous-groupe additif de A/I ie montrons que J/I $\ne$ $\emptyset$ et que pour tout X,Y de J/I X-Y $\in$ J/I.

    Soit X,Y $\in$ J/I. Il existe x,y $\in$ J tel que X= $\pi$(x) et Y= $\pi$(y). Alors

    X-Y = $\pi$(x) - $\pi$(y) = $\pi$(x-y) où x-y $\in$ J car x,y $\in$ J et J est un idéal de A. Donc X-Y $\in$ J/I.
  • D'autre part on a pour tout a $\in$ A

    $\pi$(a)$\pi$(x)=$\pi$(ax) où ax $\in$ J car J est un idéal de A donc pour tout a $\in$ A et x $\in J$ on a ax $\in$ J.Donc $\pi$(ax) $\in$ J/I
  • On a J/I $\ne$ $\emptyset$ car comme J et I sont des idéaux de A on a J $\ne$ $\emptyset$ et I $\ne$ $\emptyset$.
  • Poirot c'est bon?
  • Oui c'est bon !
  • Bonjour
    J'ai fait une erreur quand j'ai voulu démontrer que J/I est différent de l'ensemble vide. Voici la correction, elle est due à un professeur de math (il ne veut pas que son nom soit mentionné).

    J/I est (par définition) un groupe. C’est le groupe quotient du groupe abélien J par le sous-groupe I.
    Mais un groupe n’est jamais vide, parce que (par définition) il doit contenir (au moins) un élément neutre.
    Dans notre cas l’élément neutre de J/I est I qui est élément de J/I.
    C’est la classe d’équivalence de 0 par rapport à la relation d’équivalence suivant I.
  • Ben non, $J/I$ n'est pas un groupe par définition. Le fait qu'il est non vide est immédiat puisque $J \neq \emptyset$, donc il existe au moins une classe d'équivalence d'éléments de $J$ modulo $I$.
  • Poirot, tu es sûr que J/I n'est pas un groupe?
  • Bon en tout cas ce n'était pas la solution que j'avais donnée au départ qui était juste.
  • C'est bien un groupe, je dis que ce n'est pas par définition que c'est un groupe. Par définition c'est un ensemble de classes d'équivalence, et on peut le munir naturellement d'une structure de groupe telle que l'application qui à un élément de $J$ associe sa classe d'équivalence est un morphisme de groupes.

    Et si, ta solution était tout à fait correcte. Ce n'est pas parce qu'on peut le justifier différemment que ce que tu as écrit est faux.
  • Tout est évident, mais je pense qu'à la place de $\pi$ (qui te fait oublier ce que sont les éléments de $A/I$) tu devrais plutôt utiliser la notation $cl$ pour "classe", psychologiquement ça t'aiderait.

    En effet, tu as une longue liste de choses évidentes, mais indépendantes (c'est un avantage), quand juste écrites sans abréviation. Si tu ne prends que "les propriétés de $\pi$", elles cessent d'être évidentes, car introduisent des égalités qu'il faut établir à cause des changements de notations. Pour te donner un exemple, c'est comme
    $$
    f^{-1} (A\cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)

    $$ qui a cessé d'être évident parce que tu as abrégé par $f^{-1} (X)$ l'ensemble $\{x\mid f(x)\in X\}$ et par $A\cup B$ l'ensemble $\{x\mid x\in A$ ou $x\in B\}$.

    Si tu écris les choses sans les abréviations, la relation ci-dessus s'écrit :
    $\{x\mid f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\} =\{x\mid f(x)\in A$ ou $f(x)\in B\} ,$
    dont le moins qu'on puisse dire est que la justification n'est pas longue :-D

    Par contre, il faut savoir un truc, c'est que si quand tu déplies des abréviations, tu obtiens un "toto=toto", paradoxalement, c'est que sans déplier, tu vas devoir TOUT TE TAPER. Il n'y a pas de "perte", donc de raccourcis permis par des trucs comme "de A et B, je déduis B" (qui a la vertu de jeter A, donc de raccourcir les preuves et faire gagner les opportunistes.

    En résumé, tu n'as pas de chances avec cet exo, tu dois tout déplier :-D C'était la mauvaise nouvelle du jour, il n'y a pas "d'intuition derrière" puisque ce n'est qu'un "toto=toto".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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