Matrice et extension d'anneau
Hello,
J'ai une petite galère de rédaction sur un résultat qui doit être classique (en fait je ne suis pas convaincu qu'il soit valide mais je pense).
Contexte. Soit $k$ un anneau commutatif unitaire. Soit $K / k$ une algèbre libre de rang $r$ muni d'une base $\varepsilon := (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r)$.
Soit $f : K^n \to K^m$ une application $K$-linéaire et $M$ sa matrice dans les bases coniques de $K^n$ et $K^m$. Je vais noter $e^n =(e_1^n,\dots,e_n^n)$ et $e^m = (e_1^m,\dots,e_m^m)$.
L'application $f$ est également $k$-linéaire et on dispose de base pour $K^n$ et $K^m$,
$$
(e_i^n \varepsilon_j) \qquad \qquad e_i^m \varepsilon_j.
$$ Ici il faut fixer un ordre et je prends
$$
\left( e_1^n \varepsilon_1,\dots,e_1^n \varepsilon_r, \dots, e_n^n \varepsilon_1,\dots,e_n^n \varepsilon_r \right).
$$ Le truc est de voir que la matrice de $f$ dans les $k$-bases de $K^n$ et $K^m$ est exactement la matrice par bloc obtenu en remplacant chaque coefficients $a$ de la matrice $M$ par la matrice de l'endomorphisme $k$-linéaire de multiplication par $a$ : $m_a : K \to K$, matrice que l'on écrit dans la base $\varepsilon$.
Un exemple. $k = \Z$ et $K = \Z[ i]$. Et on prend l'endomorphisme $f : K^2 \to K^2$ associé à la matrice $$M := \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}.
$$ On prend $\varepsilon := (1,i)$ et on considère la base $e_1,e_1 i, e_2,e_2 i$ pour $K^2$ en tant que module libre sur $\Z$. Pour obtenir la matrice de $f$ vu comme application $k$-linéaire, on calcule :
$$
f(e_1) = i e_1+(1+i)e_2 \qquad f(ie_1) = i( i e_1+(1+i)e_2) \qquad \dots
$$ Finalement on trouve :
$$
\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 0\end{bmatrix}.
$$ Donc on a $4$ blocs $2 \times 2$ par exemple celui en haut à droite est $ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ et le truc c'est que c'est exactement la matrice de multiplication par $1+i$ (le coef $1,2$ de la matrice $M$).
Est-ce que quelqu'un à une référence ou une idée de preuve sans douleur, perso j'ai fait le bourrin (ahah) et je n'ai pas réussi à écrire vraiment proprement :-D
J'ai une petite galère de rédaction sur un résultat qui doit être classique (en fait je ne suis pas convaincu qu'il soit valide mais je pense).
Contexte. Soit $k$ un anneau commutatif unitaire. Soit $K / k$ une algèbre libre de rang $r$ muni d'une base $\varepsilon := (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r)$.
Soit $f : K^n \to K^m$ une application $K$-linéaire et $M$ sa matrice dans les bases coniques de $K^n$ et $K^m$. Je vais noter $e^n =(e_1^n,\dots,e_n^n)$ et $e^m = (e_1^m,\dots,e_m^m)$.
L'application $f$ est également $k$-linéaire et on dispose de base pour $K^n$ et $K^m$,
$$
(e_i^n \varepsilon_j) \qquad \qquad e_i^m \varepsilon_j.
$$ Ici il faut fixer un ordre et je prends
$$
\left( e_1^n \varepsilon_1,\dots,e_1^n \varepsilon_r, \dots, e_n^n \varepsilon_1,\dots,e_n^n \varepsilon_r \right).
$$ Le truc est de voir que la matrice de $f$ dans les $k$-bases de $K^n$ et $K^m$ est exactement la matrice par bloc obtenu en remplacant chaque coefficients $a$ de la matrice $M$ par la matrice de l'endomorphisme $k$-linéaire de multiplication par $a$ : $m_a : K \to K$, matrice que l'on écrit dans la base $\varepsilon$.
Un exemple. $k = \Z$ et $K = \Z[ i]$. Et on prend l'endomorphisme $f : K^2 \to K^2$ associé à la matrice $$M := \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}.
$$ On prend $\varepsilon := (1,i)$ et on considère la base $e_1,e_1 i, e_2,e_2 i$ pour $K^2$ en tant que module libre sur $\Z$. Pour obtenir la matrice de $f$ vu comme application $k$-linéaire, on calcule :
$$
f(e_1) = i e_1+(1+i)e_2 \qquad f(ie_1) = i( i e_1+(1+i)e_2) \qquad \dots
$$ Finalement on trouve :
$$
\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 0\end{bmatrix}.
$$ Donc on a $4$ blocs $2 \times 2$ par exemple celui en haut à droite est $ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ et le truc c'est que c'est exactement la matrice de multiplication par $1+i$ (le coef $1,2$ de la matrice $M$).
Est-ce que quelqu'un à une référence ou une idée de preuve sans douleur, perso j'ai fait le bourrin (ahah) et je n'ai pas réussi à écrire vraiment proprement :-D
Réponses
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Il suffit de le verifier pour $a{e ^n_i}^\star\otimes e^m_j$ pour $a$ dans $K$ et en remarquant que $Hom_k(Ke^n_i, Ke^m_j)$ est k-isomorphe (en multipliant à gauche pas $e^n_i$ et à droite par $e^m_j$) à $Hom_k(K)$ tu as que la matrice de $a{e^n_i}^\star\otimes e^m_j$ dans les bases $e_i^n\epsilon, e_j^m\epsilon$ s'identifie à la matrice de la multiplication par $a$ dans la base $\epsilon$.
-
Une autre manière de dire ce que dit NoName : il faut oublier l'idée que les entrées des matrices sont des scalaires. Une matrice c'est un "tableau" de morphismes, qui permet de décrire un morphisme $E_1\oplus ... \oplus E_n \to F_1\oplus ... \oplus F_m$
Quand on a une base à droite et à gauche, on peut décomposer nos espaces sous la forme $Ke_1 \oplus ... \oplus Ke_r$ et comme $\hom_K(Ke_i, Ke_j)$ s'identifie canoniquement à $K$ on se permet de remplacer notre application linéaire par un scalaire. Mais en vrai ce sont toujours des applications linéaires.
Dans ta situation, tu as $f: Ke_1 \oplus ... \oplus Ke_n\to Ke_1\oplus ... \oplus Ke_m$ et la seule matrice qui t'intéresse c'est celle qui a en entrée $(i,j)$ l'application $Ke_i \to Ke_j$ associée. Je répète: l'application, pas le scalaire "$a$".
Maintenant si tu écris ça sur $K$, tu vois que cette application est représentée par $a$, et si tu écris sur $k$, tu vois que c'est représenté par la matrice de $a$.
Autrement dit, d'un certain point de vue, ta question est triviale: elle l'est, dès qu'on se souvient que les entrées d'une matrice ne sont pas des scalaires. -
Merci de vos indications vous deux ! J'y médite et reviens si j'ai un problème !
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Bonjour!
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