Quotient

Bonjour,

J'ai le théorème suivant:

Théorème: Théorème d'existence des quotients

Soit A un anneau commutatif , et soit a un idéal de A. Alors il existe un anneau A' et un homomorphisme d'anneaux h de A dans A' tels que Ker(h)=a .
La démonstration de ce théorème est dans la photo.
J'aimerais vérifier (comme c'est écrit dans la démonstration) que O(barre) (la barre est au dessus du 0) est neutre pour cette addition, l'associativité et la commutativité de cette addition, le fait que q(-a) est l'opposée de q(a) etc. mais j'ai besoin d'aide car je ne sais pas comment démarrer.

Merci d'avance118388

Réponses

  • Déjà il y a une chose qui n'est pas claire dans ma tête :0(barre) appartient à quel ensemble? Car dans la preuve sur la photo il est écrit à un moment: "Montrons que l'on peut définir sur A/a l'addition et la multiplication des classe X et Y par X+Y =q(x+y) et XY=q(xy)"
  • C'est à dire j'ai l'impression que les éléments de A/a sont X, Y du coup 0(barre) est dans où?
  • Je crois que 0(barre) est dans A/a.
  • Bonjour

    Par définition, $q(x)=\overline x$. Alors pour un élément $X$ du quotient, il existe $x\in A$ tel que $X=\overline x$. Cet $x$ n'est pas unique, donc pour définir les lois du quotient il vaut mieux travailler directement avec ses éléments. L'élément neutre du quotient est $q(0)=\overline 0$.
  • Ah d'accord merci
  • Est-ce que en faisant ça
    Soit X$ \in $ A/a. Il existe x $\in $ A tel que $ X=\bar{x}$.Du coup
    X+$\bar{0}$=$\bar{x}$ +$\bar{0}$=$\bar{x+0}$=$\bar{x}$=X

    j'ai vérifié que $\bar{0}$ est neutre pour cette addition?
  • Au fait Magnolia ça à rien à voir avec cette discussion mais je voulais te dire que je le trouve trop classe ton pseudo.
  • Soit X,Y,Z $\in$ A/a. Il existe x,y,z dans A tel que X=$\bar{x}$,Y=$\bar{y}$, Z=$\bar{z}$. On a
    (X+Y)+Z=($\bar{x}$ + $\bar{y}$)+$\bar{z}$=$\bar{x+y}$+$\bar{z}$=$\bar{x+y+z}$
    et
    X+(Y+Z)=$\bar{x}+(\bar{y}$+$\bar{z}$)= $\bar{x}$+$\bar{y+z}$= $\bar{x+y+z}$
  • J'ai vérifié l'associativité de cette addition?
  • Soient $X,Y\in A/a$. Il existe $x,y \in A$ tels que $X= \bar{x} $ et $Y=\bar{y}$.
    On a $X+Y= \bar{x} + \bar{y}= \bar{x+y} = \bar{y+x}= \bar{y} + \bar{x} = Y+X.$

    [En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
  • J'ai vérifié la commutativité de cette addition?
  • Oui tout me semble correct.
  • Merci raoul.S, j'aimerais maintenant vérifier que q(-a) est l'opposée de q(a) pour cette addition mais je ne sais pas comment m'y prendre.
  • tu dois montrer que $q(a)+q(-a)=q(0)$ ou en utilisant la notation indiquée par magnolia ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2195894,2195924#msg-2195924 $\overline{a} + \overline{-a}=\overline{0}$.

    Mais bon, ce n'est pas plus difficile de ce que tu as déjà fait.
  • On a
    $q(a)+q(-a)= \overline{a} + \overline{-a} = \overline{a-a} = \overline{0} = q(0).$
    C'est bon ?

    [En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
  • Je veux montrer l'associativité du produit

    Soient $X,Y,Z \in A/a$. Il existe $x,y,z \in A$ tels que $X= \bar{x},\ Y= \bar{y},\ Z= \bar{z}$.
    On a $(X * Y)*Z= (\bar{x} * \bar{y}) * \bar{z} = \overline{xy} * \bar{z} = \overline{xyz}$
    et
    $X*(Y*Z)= \bar{x} * (\bar{y} *\bar{z}) = \bar{x} * \overline{yz} = \overline{xyz},$

    donc $(X*Y)*Z = X*(Y*Z)$.
  • AD comment tu as fait pour que la barre s'étende sur plusieurs éléments ?

    [La souris sur une expression > clic droit > Afficher sous forme > Commande Tex, pour voir le code $\LaTeX$ de l'expression.
    Ou bien clique sur "Cite" pour voir le message au complet. AD]
  • Je veux montrer que q(1) est l'élément unité dans A/a.On a

    X*q(1)= $\bar{x}$ * $\bar{1}$ = $\bar{x*1}$ = $\bar{x}$ = X
    et
    q(1)*X = $\bar{1}$* $\bar{x}$ = $\bar{1*x}$ = $\bar{x}$ = X

    donc

    X* q(1) = q(1) * X = X donc q(1) est l'éléments unité dans A/a.
  • (tu)


    PS. c'est "\overline{x*1}" en latex.
  • Je fais seulement la distributivité à droite.

    On a

    X*(Y+Z) =$ \overline{x}$ * ($\overline{y}$ + $\overline{z}$) = $\overline{x}$*$\overline{y}$ + $\overline{x}$*$\overline{z}$ = X*Y + X*Z
  • Non là ce n'est pas une preuve de la distributivité. Ta deuxième égalité suppose déjà la distributivité tandis que c'est ce que tu dois montrer...
  • Merci Raoul.S. On a

    X*(Y+Z)= $\overline{x}$ * ($\overline{y}$ + $\overline{z}$) = $\overline{x}$ * $\overline{y+z}$ = $\overline{x*(y+z)}$ = $\overline{x*y+ x*z}$ = $\overline{xy}$ + $\overline{xz}$ = $\overline{x}$ * $\overline{y}$ + $\overline{x}$ * $\overline{z}$
  • Voilà (tu)
  • Peut-on savoir de quel livre est tiré cet extrait ? Merci.
  • Cet extrait vient de mon poly de cours sur les anneaux.
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