anniversaire

borde

Bonjour,

Cela fait grosso modo un an que je fréquente le forum. Pour fêter cela (et aussi parce que j'en ai un peu marre de résoudre les exos des autres), voici deux exercices d'arithmétique de niveau Bac +1 à Bac $+x$ (où $x \geqslant 4$.

{\bf exercice 1} (bac +1/+2) On note $e(x) = e^{2i \pi x}$ et $\parallel x \parallel$ est la distance de $x$ à son entier le plus proche (donc, si $\{ x \}$ est la partie fractionnaire de $x$, alors $\parallel x \parallel = \min \left ( \{ x \} \, , \, 1 - \{ x \} \right )$). Soient $x,y \in \R$ tels que $x \not \in \Z$ et $M

lolo

Joyeux anniversaire Borde !

(ps pour moi le 2) est plus facile que le 1) sauf que l'indication sur le nombre de classe n'est pas démontrée)


lolo

lolo

J'embraye : quels sont les entiers D pourlesquels on ne sache pas trouver les solution entières de $ y^3 = x^2 + D $ ? (il y a des familles de "D" qui se font bien par congruence voir le Duverney , mais je ne crois pas que tout soit connu, on pourrait donc demander quel est le plus petit D en valeur absolue tel que le problème soit ouvert ? à moins qu'il y ait des algos ?)


lolo

prof2

Hmm, sy y pair, x impair, modulo 4, on a y³=2 ce qui est absurde.
y³-x²=5 donc le seul diviseur commun possible hors unité à x et y est 5
Z[i*sqrt(5)] est euxlidien. Si y divisble par 5, x divisible par 5 puis 25 divisi 5 ce qui est absurde donc y non divisible par 5.

Après, comme (x²+5)=(x+i*sqrt(5)).(x-i*sqrt(5)) et que
(x+i*sqrt(5))-(x-i*sqrt(5)) =2*i*sqrt(5)
Un diviseur commun à (x+i*sqrt(5)) et (x-i*sqrt(5)) est 2 ou i*sqrt(5). Si c'est i*sqrt(5), on aurait y divisible par 5 exclus.
Par ailleurs y impair donc 2 ne peut diviser (x+i*sqrt(5)). Ces deux nombres sont premiers entre eux et sont donc des cubes.

On pose (x+i*sqrt(5))=(u+v*i*sqrt(5))³ et donc (x-i*sqrt(5))=(u-v*i*sqrt(5))³. Cela donne
u²(u-15v)=x
v(3u²-5v²)=-1 donc v vaut plus ou moins 1 et 3u²-5=+ou-1
soit enfin 3u²=4ou6 et une impossibilité.

J'ai fait ça directement (d'où l'absence de Latex), je retourne à mes copies.
Désolé pour les erreurs probables mais je pense l'idée correcte.

Bon anniversaire

borde

Merci Lolo. Je ne demande pas la preuve du nombre de classes de $\Q(\sqrt{-5})$, preuve qui me semble trop technique (sauf, bien sûr, pour celles ou ceux qui connaissent les trucs). Ce n'est pas l'objet de l'exo.

En revanche, je serais très intéressé par ta preuve (ou tes idées), et celles des autres, spécialistes ou pas (ce qui, au fond, ne veut rien dire) sur l'exo 2 (le 1 se fait directement en suivant les indications). Je n'en ai qu'une, mais il y en a plusieurs, et donc j'attends toutes les idées. Il serait intéressant de les confronter (la mienne n'étant certainement pas la "plus gracieuse", comme avait dit un jour un intervenant).

En fait, c'est cela : plutôt que de chercher à tout prix une solution, il me paraît tout aussi de voir les idées des uns et des autres, idées pouvant aboutir...ou pas !

Borde.

lolo

voilà (oui ok le 1 faut l'écrire) le 2) de tête j'avais fait comme prof sauf que l'anneau n'est pas euclidien, l'idéal en facteur a son cube principal comme 3 et 2 sont premiers entre eux , il est lui même principal , la suite pareil que prof .

lolo

borde

Encore pour toi, Lolo.

Soit $D > 0$, sans facteur carré, $\equiv 1,2 \pmod 4$ et n'est pas de la forme $D = 3a^2 \pm 1$. Alors, si $3 \nmid h(-D)$, l'équation $y^3 = x^2 + D$ n'a pas de solution entière.

Pour Prof,

Tout d'abord merci. Ton idée est très bonne (sacré bon travail), mais, sauf erreur, ton anneau n'est pas euclidien, puisque non principal (nombre de classes $=2$). Ceci dit, cela ne modifie pas l'esprit de ta preuve, qui ressemble presque à la "mienne".

On a :

1. L'anneau des entiers (algébriques) d'un corps quadratique imaginaire $\Q(\sqrt d)$ est euclidien ssi $d=-1,-2,-3,-7,-11$.

Mais, de toute façon :

2. Soit $\K / \Q$ un corps de nombres quelconques sur $\Q$ et $h_{\K}$ son nombre de classes. Soit $p$ un nombre premier tel que $p \nmid h_{\K}$. Alors, si $\mathcal{I}$ est un idéal entier de $\K$, on a $\mathcal{I}^p$ est principal $\Longrightarrow$ $\mathcal{I}$ principal.

Encore merci à tous ceux qui cherchent.

Borde.

borde

Oui, c'est cela. Bravo à tous les deux.

Borde.

Pilz0

Une petite question, quel livre vous me conseillerai pour revoir tout cela ( anneaux de Dedekind, groupe de Picard, corps de nombres etc...) car mes cours de tano de l' année dernière me semblent bien loin

borde

Salut Piltz,

Je suggère parmi d'autres :

1. Samuel : {\ it Théorie algébrique des nombres}, Hermann.
2. Cohen : {\it A course in computational algebraic number theory}, Springer.
3. DP Parent : {\it Exercices de théorie des nombres}, Jacques Gabay. Ce dernier étant un recueil d'exercices d'examens portant sur la théorie algébrique, la théorie additive, la théorie analytique, l'analyse $p-$adique, etc. Idéal pour garder la main. Seule la typo est dépassée, mais qu'importe...

Borde.

borde

Pilz : excuse-moi, j'ai écorché ton pseudo !

Borde.

Pilz0

ok merci

Bruno

Je découvre... Bon anniversaire Borde.

Bruno

borde

Merci Bruno !

Borde.

Aries

Bien que j'ai été incapable de résoudre tes exercices ... Bon anniversaire Borde !

Aries.

abbas1

bonjour Borde , et bon anniversaire

borde

Encore merci à tous...Je proposerais, s'il y a lieu, une réponse en LaTeX disons d'ici demain...

Borde.

manuel

Bon, suis pas très inspiré par les exos non plus, désolé.

Mais de tout coeur, Joyeux anniversaire!

Au fait, merci pour les refs : je ne connaissais pas le Parent.

borde

Salut Manuel et merci,

J'aurais été déçu que tu n'interviennes pas, le second exercice étant mis en ton honneur :-), et, plus généralement, mis en référence à tous ceux qui travaillent avec les courbes quelles qu'elles soient, elliptiques ou autres.

Le Parent a contribué à accélérer mes apprentissages dans le domaine de la théorie algébrique, car les corrigés sont très clairs.

Encore merci et bon courage pour ta thèse,

Borde.

seif0

Meme que je n e connait pas de qoui vous parler meme que j'ai reussi mon prepa(en tunisie!) Joyeux anniversaire.

Sylvain

En un an tu as aidé un nombre considérable de participants du forum, qu'il soient amateurs, lycéens ou plus chevronnés en mettant à notre disposition tes connaissances étendues notamment en théorie des nombres dans de nombreux messages de qualité. De plus ton talent certain ne t'empêche pas de faire preuve d'humilité (ainsi tu penses que je te surestime quand je dis à Henri Delille qui cherche à démontrer l'hypothèse de Riemann que tu es l'un des seuls spécialistes de théorie des nombres que je connaisse, ce qui est pourtant la stricte vérité) et de qualités humaines indéniables: patience, gentillesse et disponibilité. Au nom de tous les participants du forum, je t'adresse un grand merci et te souhaite un joyeux anniversaire et une bonne continuation parmi nous. Tes élèves peuvent être fiers de toi !

manuel

Borde, merci beaucoup. Effectivement, le second problème m'a interpellé ;-)

Malheureusement, il me manque encore beaucoup de connaissances sur la théorie algébrique des nombres en général, et c'est pourquoi je suis d'autant plus intéressé par une référence comme le Parent. Je pense que je vais bosser le Samuel et ça, je devrais me sentir mieux après.
D'ailleurs, si j'ai un problème avec les exos du Samuel, non corrigés... je pense à toi!

jeff_deld

Happy birthday to you M. Borde !
Vos exercices perdent en difficulté (rires) !
Allez a+ sur ce forum ou par mail !

oumpapah2

Bonjour

L'ancien (qui fatigue!) félicite un jeune plein d'ardeur (et de talent)
il semble que les intervenants finissent par croire que c'est ton vrai anniversaire!
je regarde ton exo 2 entre 2 sudoku ( plus faciles à dévisser!) à la recherche d'une solution élémentaire et élegante..encore absente..

A+

Oump

borde

Merci à tous (bis)...Mais cet "anniversaire" n'est en fait qu'un prétexte pour poser des exercices.
<BR>
<BR>Sylvain, ton post me va droit au coeur, même s'il est un tantinet exagéré...mais ce n'est pas grave !
<BR>
<BR>Bonjour Claude, il est clair que, à l'instar de ce que l'on a fait l'autre jour sur mathprepa, j'attends de toi une méthode différente que celle utilisant la théorie algébrique (pour ma part, je n'en ai pas, donc je suis évidemment intéressé). D'autre part, tu prouves tous les jours ici-même qu'en ce qui concerne les mathématiques, ce n'est pas l'âge (physique) qui compte :-)
<BR>
<BR>Le premier exo, comme l'a dit Lolo, s'enchaîne normalement bien pour un élève de prépa, en suivant les indications données. Même s'il ne casse pas trois pattes à un canard, l'idée qu'il dégage (à savoir : un réel a une bonne "approximation" rationnelle ou pas influe largement sur la somme d'exponentielle qu'il dirige, Vinogradov a largement travaillé dans ce sens) est très féconde en arithmétique, où les sommes d'exponentielles sont légions (voir à ce sujet <I>l'inégalité d'Erdös-Turan</I>).
<BR>
<BR>Borde.<BR>

borde

Une solution possible par exo...

{\bf exo 1}. $$\left | \sum_{n=M+1}^{N} e(xn+y) \right | = \left | \sum_{n=M+1}^{N} e(xn) \right | = \frac {|e(Nx) - e(Mx)|}{|e(x) - 1|}$$ où l'on a utilisé une suite géométrique. Puisque $e(x) - 1 = 2ie(x/2) \sin(\pi x)$, il vient : $$\left | \sum_{n=M+1}^{N} e(xn+y) \right | \leqslant \frac {1}{|\sin (\pi x)|}.$$ Maintenant, les fonctions $x \mapsto \parallel x \parallel$ et $x \mapsto |\sin (\pi x)|$ sont toutes deux paires et de période 1, et il est connu que, si $x \in [0,1/2]$, alors $\sin (\pi x) \geqslant 2x$, donc, pour tout $x \in \R$, on a $|\sin(\pi x)| \geqslant 2 \parallel x \parallel$.

{\bf exo 2}. COmme l'ont expliqué Prof et Lolo, l'équation se factorise en $$(x + \sqrt {-5})(x + \sqrt {-5}) = y^3,$$équation que l'on considère maintenant dans l'anneau $\Z [\sqrt {-5}]$. Si $\mathfrak {p}$ est un idéal premier divisant à la fois l'idéal $(x - \sqrt {-5})$ et l'idéal $(x + \sqrt {-5})$, alors il divise $y$ et $(2x)$, et comme $y$ est impair, on en déduit qu'il divise $x$, ce qui ne se peut car $x,y$ sont premiers entre eux. Ainsi, les idéaux $(x - \sqrt {-5})$ et $(x + \sqrt {-5})$ sont premiers entre eux, donc il existe deux idéaux entiers $\mathfrac {a}$ et $\mathfrak {b}$ tels que $(x + \sqrt {-5}) = \mathfrac {a}^3$ et \$(x - \sqrt {-5}) = mathfrac {b}^3$. En particulier, $\mathfrac {a}^3$ est principal, et comme le nombre de classes de $\Q(\sqrt {-5})$ vaut $2 \nmid 3$, on en déduit que l'idéal $\mathfrac {a}$ est principal. Noter aussi que les unités de $\Q(\sqrt {-5})$ sont $\pm 1$ qui sont des cubes. On déduit de tout cela qu'il existe des entiers $a,b$ tels que $$x + \sqrt {-5} = (a+b \sqrt {-5})^3.$$ En développant, cela implique que $b(3a^2 - 5b^2) = 1$, puis $b = \pm 1$, puis 3a^2 - 5 = \pm 1$ ce qui ne se peut car $a \in \Z$.

Borde.

borde

Une solution possible par exo...\\
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{\bf exo 1}. $$\left | \sum_{n=M+1}^{N} e(xn+y) \right | = \left | \sum_{n=M+1}^{N} e(xn) \right | = \frac {|e(Nx) - e(Mx)|}{|e(x) - 1|}$$ où l'on a utilisé une suite géométrique. Puisque $e(x) - 1 = 2ie(x/2) \sin(\pi x)$, il vient : $$\left | \sum_{n=M+1}^{N} e(xn+y) \right | \leqslant \frac {1}{|\sin (\pi x)|}.$$ Maintenant, les fonctions $x \mapsto \parallel x \parallel$ et $x \mapsto |\sin (\pi x)|$ sont toutes deux paires et de période 1, et il est connu que, si $x \in [0,1/2]$, alors $\sin (\pi x) \geqslant 2x$, donc, pour tout $x \in \R$, on a $|\sin(\pi x)| \geqslant 2 \parallel x \parallel$.

{\bf exo 2}. Comme l'ont expliqué Prof et Lolo, l'équation se factorise en $$(x - \sqrt {-5})(x + \sqrt {-5}) = y^3,$$équation que l'on considère maintenant dans l'anneau $\Z [\sqrt {-5}]$. Si $\mathfrak {p}$ est un idéal premier divisant à la fois l'idéal $(x - \sqrt {-5})$ et l'idéal $(x + \sqrt {-5})$, alors il divise $y$ et $(2x)$, et comme $y$ est impair, on en déduit qu'il divise $x$, ce qui ne se peut car $x,y$ sont premiers entre eux. Ainsi, les idéaux $(x - \sqrt {-5})$ et $(x + \sqrt {-5})$ sont premiers entre eux, donc il existe deux idéaux entiers $\mathfrak {a}$ et $\mathfrak {b}$ tels que $(x + \sqrt {-5}) = \mathfrak {a}^3$ et $(x - \sqrt {-5}) = \mathfrak {b}^3$. En particulier, $\mathfrak {a}^3$ est principal, et comme le nombre de classes de $\Q(\sqrt {-5})$ vaut $2 \nmid 3$, on en déduit que l'idéal $\mathfrak {a}$ est principal. Noter aussi que les unités de $\Q(\sqrt {-5})$ sont $\pm 1$ qui sont des cubes. On déduit de tout cela qu'il existe des entiers $a,b$ tels que $$x + \sqrt {-5} = (a+b \sqrt {-5})^3.$$ En développant, cela implique que $b(3a^2 - 5b^2) = 1$, puis $b = \pm 1$, puis $3a^2 - 5 = \pm 1$ ce qui ne se peut car $a \in \Z$.

Borde (corrections effectuées).

Richard André-Jeannin1

Salut Borde.
Comme tout le monde, je te souhaite un bon anniversaire.
Je te signale toutefois que lors de mon premier anniversaire sur ce forum (cela remonte à loin), manu m'avait envoyé un chèque de 1 000 € pour me remercier de ma participation ( j'ai dilapidé l'argent en trois jours sur les champs de course).
J'espère pour toi que la coutûme est encore à l'ordre du jour et que tu feras un meilleur usage que moi de cette manne céleste..

Volny DE PASCALE0

Bonsoir.

On trouve encore le Parent ? (Ailleurs que dans les bibliothèques, je veux dire) Il est très agréable à lire, même s'il devient assez vite ardu.

S'il est en vente en librairie, je l'achète demain.

Amicalement
Volny

Yalcin

allez manu un chèque de 200 euros pour moi, pour que je m'achète une casio 100+.

borde

Salut RAJ,

Je suis d'accord pour perpétuer la coutume...en tenant compte de l'inflation, bien sûr.

Pour Volny, va voir à \lien {http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/2876471396/qid=1130921907/sr=1-4/ref=sr_1_8_4/402-5555271-4118526}

Pour Yalcin : pas besoin de calculette pour faire des conjectures sur $\zeta$...:-)

Borde.

Yalcin

Pour borde : je n'ai pas dit que j'allais faire des conjectures sur $\zeta$ avec uen casio 100+.

Cordialement Yalcin

borde

Oui, je plaisantais...Cependant, au niveau de la présentation et de l'utilisation, je préfèrerais une TI-89 (voire TI-200) qu'une Casio 100+, non ?

Borde.

borde

Ah, j'allais oublier...L'inégalité de l'exo 1 ci-dessus montre que la somme d'exponentielle est minimale lorsque $x \in \Z + \frac {1}{2}$. Ce résultat se généralise à n'importe quelle fonction de classe $C^{1}$ et prend alors le nom {\it d'inégalité de Kusmin'-Landau}, premier outil dans l'étude des sommes d'exponentielles intervenant dans bon nombre de problème de théorie des nombres.

Soient donc $M,N$ entiers, et $f \in C^{1} (]M,N])$ telle que sa dérivée $f'$ soit monotone et vérifie $\parallel f' \parallel \geqslant \lambda_1 > 0$ sur $]M,N]$. Alors, avec les notations de l'exo 1, on a : $$\left | \sum_{M < n \leqslant N} e(f(n)) \right | \ll \lfrac {1}{\lambda_1}.$$

Borde.

borde

Ah, j'allais oublier...L'inégalité de l'exo 1 ci-dessus montre que la somme d'exponentielle est minimale lorsque $x \in \Z + \frac {1}{2}$. Ce résultat se généralise à n'importe quelle fonction de classe $C^{1}$ et prend alors le nom {\it d'inégalité de Kusmin'-Landau}, premier outil dans l'étude des sommes d'exponentielles intervenant dans bon nombre de problème de théorie des nombres.

Soient donc $M,N$ entiers, et $f \in C^{1} (]M,N])$ telle que sa dérivée $f'$ soit monotone et vérifie $\parallel f' \parallel \geqslant \lambda_1 > 0$ sur $]M,N]$. Alors, avec les notations de l'exo 1, on a : $$\left | \sum_{M < n \leqslant N} e(f(n)) \right | \ll \frac {1}{\lambda_1}.$$

Borde (corrections effectuées).