Coefficient binomial

analysemaths

Bonjour à tous,

Dans un ouvrage de physique (Networks, an introduction, M. Newman) que je suis en train d'étudier, il est écrit la chose suivante :

$\displaystyle\binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{(n-1-k)! k!} \simeq \frac{(n-1)^{k}}{k!}$ in the large $n$-limit.

J'ai commencé le calcul bourrin avec les factorielles, mais je ne vois pas par quelle approximation l'auteur aboutit à cette expression. Y a-t-il un membre du forum qui aurait une idée ?

Merci à tous et bon début de semaine,
analysemaths.

YvesM

Bonjour,

$(n-1)!=(n-1)(n-2)...(n-k) (n-1-k)!$

Après simplification par $(n-1-k)!$ il reste $k$ termes $(n-1)(n-2)...(n-k)$. et pour le terme $(n-p)$ dans ce produit on écrit $n-p=n-1-(p-1)=(n-1)(1-{p-1\over n-1})\sim n-1$ pour $n$ grand.

Math Coss

Cela marche parce que le nombre de facteurs est fini et fixe quand $n$ tend vers l'infini.

Regarder avec des petites valeurs de $k$ ($1$, $2$, $3$) aurait pu (dû ?) être un réflexe.

analysemaths

Bonjour,

Merci YvesM pour l'explication.

Math Coss, je prends note de ta critique ! À l'avenir, j'y penserai.

Merci à vous deux et bonne semaine à tous,
analysemaths.

bisam

Il vaut mieux retenir l'égalité : \[\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)\] que l'égalité avec uniquement des factorielles.
Cette égalité est valable dans beaucoup plus de situations ($k$ reste un entier positif, mais $n$ peut être un entier positif, mais aussi négatif, réel, complexe, un polynôme, voire n'importe quel élément d'un anneau commutatif).
Sous cette forme, l'approximation demandée est évidente.