intégration et limites

piRo0

Bonjour à tous, je rencontre un petit problème dans mes 'devoirs de vacances'.

$f$ est une application $C^1$ sur $[ a , +\infty ]$, ou $a$ est un réel quelconque. De plus on a $\frac{xf'(x)}{f(x)} \longrightarrow \alpha$ quand $x \longrightarrow +\infty$, avec $\alpha \in \R$

et je dois montrer que en $+\infty$ $\frac{ln(f(x))}{ln(x)}$ tend vers $\alpha$ aussi.

On me dit que ça a quelque chose a voir avec les théorèmes sur l'intégration des relation de comparaison. Alors j'ai essayé de ma ramener au second quotient a partir du premier avec des intégrations par parties, mais je n'y arrive pas.

Si quelqu'un voit, ca serait gentil de me dépanner.

Bonne fin de vacances à tous (enfin, à tous ceux qui étaient en vacances pour la toussaint du moins).

Probaloser

Qu'est-ce qui t'a fiat penser à utiliser des résultats sur l'intégration d'équivalents ? (si si, j'essaye de te faire trouver la solution).

dssg

il faut sans doute supposer aussi que $f$ est à valeurs dans $\R^{+*}$. Dans ce cas, pars de l'équivalent $\frac{f'}{f}=\frac{\alpha}{x}$ qui s'intègre très bien (après vérification des hypothèses du théorème ad hoc).

cordialement, dssg

Probaloser

Bon ben voilà... la réponse aurait pu être : le f'/f s'intègre en ln(f), il reste à faire apparaitre le ln(x) qui est une primitive de 1/x, bref il reste à balancer le x de l'autre côté...

De manière plus saine peut-être, c'est comme quand tu résouds une équation en x, tu cherches à isoler le x d'un côté. Ici, tu peux chercher à isoler le f d'un côté (ça n'est intéressant que dans les cas les plus simples, mais c'est le cas ici...).

piRo0

Probaloser: je vais te décevoir. Ce qui m'a fait penser que je devais utiliser ces théorèmes, c'est que c'était marqué sur le sujet (hihihi)

Dssg, effectivement la fonction est positive strictement. j'ai du a peu près tout essayer sauf ça :-). Ca devrait aller.


Merci à tous les deux.