Aide DM espace vectoriel (prépa sup)

Antoine830

Bonjour,
Je recherche un peu d’aide sur mon devoir maison en maths (photos ci-jointes).
Je suis à la question 5 et je n’arrive pas réellement à prouver la relation souhaitée...
Pour le reste j’ai fait les 4 premières et la question 6 aussi et voilà je suis bloqué à moitié sur la question 5
Si quelqu’un veut bien m’aider je suis preneur !
Merci beaucoup !

ev

Bonjour Antoine et bienvenue.

J'aimerais bien t'aider, mais je suis bloqué encore avant toi. Torticolis.

e.v.

Dom

Je viens de regarder :
Vois-tu quelle fonction doit être maximisée ?

Présente au moins « le départ ».
La somme va de $0$ à $1$ dans cette question.

nicolas.patrois

Tout comme ev, les images me donnent mal au cou…

Id Est

Bonjour, on a :

$f(x)=a_{0}+a_{1}\cos(x)+b_{1}\sin(x)$, donc :
$f(x)=a_{0}+\sqrt{a^{2}+b^{2}} \left( \frac{a_{1}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos(x)+ \frac{b_{1}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin(x)\right)$.
Maintenant, en posant $u:=\frac{a_{1}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ et $v:=\frac{b_{1}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$, on pense aux formules de trigonométrie.

Cordialement,

Antoine830

Salut Dom
On a, f(x) = a0 + a1*cos(x) + b1*sin(x)

(Cos + sin) est maximale en pi/4 mais avec ça je ne retombe pas sur squrt(a^2 + b^2)

paf

La méthode proposée par Id Est est tout à fait valable et te demande de deviner une astuce classique.

Sinon, tu peux aussi appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer $|a_1\cos x + b_1\sin x|$ en l'écrivant comme la valeur absolue d'un produit scalaire...

Antoine830

Merci beaucoup je n’y avais pas du tout pensé!
Pour la question 6 j’ai juste pris un contre exemple, f = cos et g = sin, on a bien N(f+g) different de N(f) + N(g)
Question 7 j’ai developper avec sin(a+b) mais je n’aboutis a rien de fou, auriez vous une idée?

Math Coss

En développant comme tu dis ($a=nx$ et $b=-\varphi$), tu ne vois pas comment exprimer $f$ comme combinaison linéaire de $x\mapsto\cos nx$ et $x\mapsto\sin nx$ ?

Antoine830

J’en arrive là et j’aimerais exprimer f en fonction de cos(nx) et sin(nx)
Je connais la somme de cos(kx) et sin(kx) mais là avec les ak et bk je ne sais pas vraiment ...

Dom

Notre cher AD a mis tes premières pages à l’endroit dans ton premier message.

Pourrais-tu être reconnaissant et essayer de le faire, toi aussi, pour cette nouvelle photo ?

Antoine830

Excuse moi...
Je pensais qu’elle était à l’endroit car je l’ai prise autrement que la première fois
Je ferai plus attention

paf

Maintenant que tu as réécrit $s$, pour l'identifier à une somme de type $\displaystyle \sum_{k = 0}^n a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx)$, tu as déjà les termes pour $k=n$ dans ce que tu as écrit (donc $a_n$ et $b_n$). Il te reste à trouver les valeurs des autres $a_k$ et $b_k$.

Antoine830

Re-bonsoir,
J’ai travaillé la physique et la SI ces 3 derniers jours et j’ai repris le dm de maths aujourd’hui,

Je suis à la question 11 (quoi que les questions 9 et 10 je trouve que toutes les intégrales valent 0 ce qui me laisse perplexe)
Montrer que les applications sont des formes linéaires est assez direct je pense, mais montrer que l’application est définie j’ai supposé par l’absurde qu’à deux réels al distincts correspondent une seule fonction de Tn, mais je ne trouve pas d’absurdité....

Est-il possible d’avoir un coup de pouce?
Merci beaucoup!

paf

Pour la 9, $k$ peut être égal à $\ell$, attention à bien traiter ce cas à part. En dehors de ce cas, les intégrales de la question 9 sont bien nulles. Ça va sans doute changer un peu tes résultats à la question 10.

Quant à la 11, si elle est après les questions 9 et 10, ce n'est pas par hasard (et avec les bons résultats à la question 10, ça ira sûrement mieux).

Id Est

Bonjour,

Pour la question $9$, il faut effectivement faire attention. Vous semblez avoir omis le cas où $k=l$.
Pour la question $11$, il y a plusieurs façons de s'y prendre. Je vous suggère d'utiliser la question $10$.

Bon courage.

Antoine830

Bonsoir,

En traitant les cas k=l pour la question 9 je tombe sur :
1) Pi
2) 0
3) Pi

Je ne vois cependant pas en quoi cela change mes résultats pour la 10, je retombe encore sur 0...

raoul.S

Si tu prends $k=l$ dans la première intégrale de la 9) tu te retrouves à calculer $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx)^2 dx$.
Poste ton calcul pour voir pourquoi tu obtiens 0...

PS. oui la photo est à l'endroit.

Antoine830

Pour la question 10 j’obtiens :

1ère intégrale : : ao
2ème intégrale : 0 tout le temps sauf pour k = l où l’intégrale vaut la somme des ak
3ème intégrale : 0 tout le temps sauf pour k = l où l’intégrale vaut la somme les bk

Est ce le bon résultat?

Antoine830

En réponse à Raoul S sur la question 9 :

C’était des erreurs bêtes mais finalement j’obtiens :
1) Pi
2) 0
3) Pi

raoul.S

OK pour la 9) dans le cas où $k=l$

pour la 10) la première intégrale est bien égale à $a_0$ par contre tes réponses suivantes sont fausses.

Antoine830

Est-il possible de m’indiquer où est l’erreur?
Merci!

raoul.S

Ce n'est pas une erreur d'inattention que tu fais mais une erreur de compréhension de l'indice de sommation $k$, tu lui attribues une valeurs particulière mais ça n'a aucun sens car $k$ parcourt tous les entiers de $0$ à $n$.

Pour être plus précis ton affirmation :

"Donc pour $k\neq l$, $\displaystyle \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(lx)dx=0$" est fausse.

Je te rappelle que $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx)dx$ signifie

$$a_0\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0\cdot x)\cos(lx)dx+a_1\int_{-\pi}^{\pi}\cos(1\cdot x)\cos(lx)dx+a_2\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2\cdot x)\cos(lx)dx+...+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n\cdot x)\cos(lx)dx$$

Antoine830

Il faudrait donc dire plutôt :
Si l € [0,n] alors l’intégrale vaut la somme des ak, sinon l’intégrale vaut 0?...

raoul.S

Non car l'intégrale ne vaut pas la somme des $a_k$.

Un exemple numérique pourra peut-être te faire comprendre :

on prend $n=2$ et $l=1$. Est-ce que tu arrives à calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^2 a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(1\cdot x)dx$ ?

Antoine830

Je trouve que cela fait a1*Pi

Antoine830

Le problème c’est que je ne sais pas si l appartient à [0,n], je crois avoir du mal à réellement comprendre ce l

raoul.S

Oui c'est bien $a_1\pi$.

Pour le $l$ c'est écrit dans l'énoncé du 10). $l$ est un nombre entier fixé compris entre $0$ et $n$.

OK autre question pour avancer : que vaut $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(2\cdot x)\cos(lx)dx$ si $l\neq 2$ et si $l=2$?

Antoine830

Si l=2 cela vaut pi
Si l est différent de 2 cela vaut 0 ?

raoul.S

Oui.

Donc tu ne devrais pas avoir de mal à calculer :

$$a_0\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0\cdot x)\cos(lx)dx+a_1\int_{-\pi}^{\pi}\cos(1\cdot x)\cos(lx)dx+a_2\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2\cdot x)\cos(lx)dx+...+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n\cdot x)\cos(lx)dx$$

Antoine830

Cela vaut : Al*pi c’est bien ça?
Pour la troisième intégrale on a donc Bl*pi ?

raoul.S

Oui voilà.

Antoine830

Bonsoir,
Juste un retour pour vous remercier de votre aide pour le DM et d’avoir pris le temps de répondre.
J’ai finalement fait jusqu’à la question 16, après quoi j’ai été bloqué et manqué de temps
Merci beaucoup !

raoul.S

(tu)

gebrane

Moi j'ai attendu que tu fasses la 17 a , dommage

OShine

La 17a m'a l'air intéressante. J'aurais envie d'utiliser la question 16.a et dériver $g_l$.

Les questions 17a et 17b requièrent une bonne maitrise de l'ordre des quantificateurs.

gebrane

Oshine . J'ai utilisé l’inégalité triangulaire renversée.
raoul peut être a une autre façon

raoul.S

Heu non je passe mon tour. Rien qu'à aller chercher la définition de tous les termes je suis saoulé...