Vérification de preuve

Hello
J'ai besoin d'un résultat et je ne trouve pas de référence. J'ai écrit une petite preuve, est-ce que quelqu'un y voit un problème.

Soit $k$ un anneau. Soit $A$ une $k$-algèbre, on notera $\mu : A \otimes _k A \to A$ le morphisme de $k$-algèbre donné par $ a \otimes b \mapsto ab$.

Soit $\varepsilon \in A \otimes_k A$, vérifiant les conditions suivantes :
1. $\varepsilon^2 = \varepsilon$.
2. Pour tout $k$-algèbre $R$, et tout $\zeta_1,\zeta_2 : A \to R$, on a : $\zeta_1= \zeta_2$ si et seulement si $(\zeta_1 \otimes \zeta_2) (\varepsilon) = 1$.

Il s'agit de prouver que $\mu(\varepsilon) = 1$ et que pour tout $a \in A$, on a : $\varepsilon(a \otimes 1 - 1 \otimes a) = 0$.

Démonstration : Pour $\mu(\varepsilon) = 1$, on note $\zeta_1 = \zeta_2 = \text{Id}_A$, on obtient par la condition $2$ que $\mu(\varepsilon) = 1$.

Pour $\varepsilon(a \otimes 1 - 1 \otimes a) = 0$. Je note : $\zeta_1, \zeta_2 : A \to (A \otimes A) / \langle \varepsilon -1 \rangle$ donné par :
$$
\zeta_1(a) = a \otimes 1 \pmod{\langle \varepsilon -1 \rangle }, \qquad \qquad \zeta_2(a) = 1 \otimes a \pmod{\langle \varepsilon -1 \rangle }.

$$ Comme $(\zeta_1 \otimes \zeta_2)(\varepsilon) = \varepsilon \pmod{\langle \varepsilon -1 \rangle }$. On en déduit (par $2$) que : $\zeta_1 = \zeta_2$ et donc que : pour tout $a \in A$,
$$
a \otimes 1 - 1 \otimes a \in \langle \varepsilon -1\rangle

$$ en multipliant par $\varepsilon$, on obtient que : $\varepsilon(a \otimes 1 - 1 \otimes a ) =0$ puisque $\varepsilon (1- \varepsilon) = 0$.

Ps : Pour les $1$, je laisse le typage faire :-D

Réponses

  • Tout ceci me semble juste. Cependant, il serait bon de distinguer les unités des différents anneaux et de mettre des parenthèses. Au début, dans $A \otimes A / \langle \epsilon - 1 \rangle $, j'ai cru que le quotient ne s'appliquait qu'au second $A$, avec comme 1 son unité. Je ne comprenais plus, alors que $(A \otimes A) / \langle \epsilon - 1_{A \otimes A} \rangle $ eut été bien plus clair.
  • Merci ! Je modifie les parenthèses car tu as parfaitement raison !
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