Propriété de l'espérance conditionnelle

Bonjour,
Je me pose une question "de cours" en apparence toute bête.

Soient $X, Y, Z$ trois variables aléatoires disons à valeurs réelles. Supposons que $X$ et $Y$ sont indépendantes.
A-t-on $E[X\mid Y,Z] = E[X\mid Z]$ ?

Si c'est le cas, je serais très intéressé par une preuve afin que je m'habitue à manipuler des espérance conditionnelles ?
Bonne journée !

Réponses

  • Juste une question :
    E[X|Z] : je sais ce que ça représente. C'est l'espérance de X sachant Y.
    E[A,B] : ça représente quoi ? (je ne sais pas, je te pose la question)
    Et plus concrètement, si tu as tes 3 variables aléatoires, que représente concrètement E[X|Y,Z] ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour,
    lourrran : $\Bbb E[A,B]$ n'a aucun sens à ma connaissance. Mais $\Bbb E[X\mid Y,Z]$ signifie $\Bbb E[X\mid\sigma(Y,Z)]$ où $\sigma(Y,Z)$ est la tribu engendrée par $Y,Z$.

    Ramufasa : La propriété demandée est fausse. Voici un contre-exemple. Soient $X$ et $Y$ deux Bernoulli ${\cal B}(\frac12)$ indépendantes et $Z := (X+Y \ {\rm mod}\ 2)$ ($Z$ est dans $\{0,1\}$).
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    _{\large X} \diagdown ^{\large Y} & 0 & 1\\
    \hline
    0& Z=0 & Z=1\\
    \hline
    1&Z=1 & Z=0\\
    \hline
    \end{array}$$
    Alors $\Bbb E[X\mid Z] = \frac12$ tandis que $\Bbb E[X\mid Y,Z]=X$ car $\sigma(Y,Z) = \sigma(X,Y)\supset \sigma(X)$.

    En revanche, la propriété devient vraie si $Y$ est indépendante de $(X,Z)$. Indice : utiliser le lemme de classe monotone.
  • Très clair, merci Calli !
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