Une caractérisation des éléments inversibles

topalg

Bonjour
Dans mon cours sur les anneaux commutatifs il y a le corollaire suivant.

Soit $A$ un anneau commutatif et soit $U$ le complémentaire dans $A$ de la réunion de tous les idéaux maximaux de $A$. Alors $U=A^*$.
($A^*$ est un groupe constitué de l'ensemble des éléments inversibles de $A$).

La preuve commence comme ça: "En effet soit $x \in A^*$, il est clair que $x$ n'est contenu dans aucun idéal maximal. Inversement,..."
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi si $x \in A^*$ alors $x$ n'est contenu dans aucun idéal maximal.
Merci d'avance

raoul.S

car si un idéal contient un élément inversible cet idéal est l'anneau entier...

Maxtimax

Tout idéal qui contient $x$ contient $xx^{-1} = 1$

topalg

roaul.S , le résultat que tu viens d'énoncer est aussi dans mon cours mais je ne vois pas en quoi ce résultat est la solution de mon problème

raoul.S

C'est la solution de ton problème car par définition un idéal maximal n'est jamais égal à l'anneau entier.

topalg

Ah oui ok je comprends, merci Raoul.S et Maxtimax

christophe c

HSON

Je paraphrase Maxtimax dans un post qui doit dater de quelques mois ou années, mais qui pourrait t'être utile un jour.

Pourquoi un idéal premier ne peut-il pas contenir $1$ (autrement dit, être l'anneau entire)?

Réponse: la vocation d'un idéal premier c'est que s'il contient un produit fini (donc une intersection finie) d'idéaux alors il contient l'un des items (du produit ou de l'intersection).

Or l'intersection de l'ensemble vide est l'anneau entier $A$. Si ton idéal premier $P$ contient $1$, alors $P=A$. Donc il doit existe $J\in \emptyset $ tel que $P\subset J$. J'aime beaucoup cet argument et je le trouve très mnémotechnique.

:-D

HSOFF