Petite énigme pour tout niveau

Papy Mougeot se tient à l'entrée d'une grande surface ; il peut gagner un bon d'achat de 10 euros à condition qu'il devine les coefficients d'un polynôme $P$ à coefficients dans $\N$. Pour cela, il peut demander la valeur de $P(n_1)$, où $n_1$ est un entier naturel qu'il aura choisi, puis, en fonction de la réponse à cette question, la valeur prise en un second entier $n_2$.

a) Sachant qu'il lui a été répondu que $P(1)=7$, quelle valeur vous suggéreriez-vous de demander, sachant qu'il n'a plus droit qu'à cette seconde question ?

b) Lorsque ce sera votre tour de deviner les coefficients d'un autre polynôme du même type, quelle sera votre stratégie ?

Réponses

  • Je vois mal comment avec seulement deux valeurs il peut espérer deviner un polynôme de degré quelconque.
    Après je bloque.
  • Bonjour,

    Les jeux de hasards sont le monopole de l’Etat. Je lui conseille de ne pas jouer. S’il doit absolument demander une autre valeur, je lui conseille $1$ pour vérifier la première réponse, on ne sait jamais.
  • Bonjour,
    Pour la question 2), je demande $12345678$ et $1$ milliard. Si la réponse est la même, je propose le polynôme constant.
  • J'aurais dû dire 100 000 euros ; là, vous auriez fait des efforts. Cela dit, zitoussi, une seconde valeur suffit, si on la choisit bien !
  • le polynôme constant. Y'en a qu'un :-D?
  • Theoreme de john-john : tout polynôme est entièrement déterminé par sa valeur en deux points
  • SPOILER en blanc ci-dessous:
    $P(X)=\sum_{i=0}^d n_i X^i$ avec $n_i\in \N$. Les $n_i$ sont en particulier positifs.
    Donc comme $P(1)=\sum_{i=0}^d n_i = 7$, pour tout $i$, $n_i\leq 7$. Donc pour tout $k\geq 8$, il est possible de calculer chaque $n_i$ en connaissant $P(k)$ par unicité de l'écriture d'un nombre en base $k$.
    $k=10$ convient notamment.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je suis effectivement le crétin annoncé par mon pseudo. Désolé du message trollesque.
  • T'inquiète, moi aussi j'ai trouvé l'exo suspect au début mais il faut tout lire, certaines hypothèses pouvant être inhabituelles (:P).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • (tu)(tu)(tu) Foys a démontré le théorème de john_john (qui n'est d'ailleurs pas de moi). À propos : et si $P\in\Z[X]$ ?

    Remarque cachée : On peut même demander ici $P(7)$ ; en revanche, si $P(1)=1$, il faudra demander $P(2)$ au moins.
  • Je propose de demander $P(10^N)$ où $N$ est "assez grand".
    On pourra lire les coefficients de $P$ sur la réponse, si tous les coefficients de $P$ sont plus petits que $10^N$.
  • RLC : non, ta réaction est naturelle ! si je pose cet exo en colle, les élèves vont appeler le SAMU.
  • bisam : c'est la remarque que je comptais ajouter aussi ; si $P(1)=578$, mes compétences en calcul mental ne vont pas jusque-là :-X
  • Pour $P\in \Z[X]$ on pourrait demander $P(1),P(-1)$ puis $P(k), P(-k)$ pour $k$ à choisir avec soin dans la même veine. Je ne crois pas qu'on puisse descendre en dessous de 4 valeurs mais n'ai pas vérifié.
    edit: ça marche peut-être pas mon idée en fait.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Theoreme de john-john : tout polynôme est entièrement déterminé par sa valeur en deux points
    Théorème sans nom: il existe un réel tel que tout polynôme à coefficient rationnel est uniquement déterminé par sa valeur en ce réel.

    Si, si. Et c'est même trivial, et l'un de ces réels (y en a pleins) est connu par la quasi totalité de la population mondiale. :-D
  • Tout nombre transcendant convient ($\pi$ en particulier).
  • Bluffé!
    Après je bloque.
  • Oui, j'ai aussi pensé à $\pi$, mais si l'on me donne en réponse une valeur numérique de $P(\pi)$ avec $2021$ décimales, il va me falloir utiliser des fractions continues...

    Foys : $P(\pm1)$ et $P(\pm k)$ fonctionne très bien ; on écrit $P=$ pair+impair.
  • Je suis impressionné :-)
  • Pour $P\in\Z[X]$, demander uniquement des valeurs sur des entiers ne sert à rien car quels que soient les entiers $a_1,\ldots,a_k$, il y a une infinité de polynômes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a_1)=\cdots=P(a_k)=0$.
  • john_john: mes doutes proviennent de ce que si $P(X):= \sum_i p_i X^i$, avec $P(1)+P(-1)$ et $P(1)-P(-1)$, on récupère la somme des coefficients de degré pair $\sum_i p_{2i}$ d'une part, et la somme des coefficients de degré impair $\sum_i p_{2i+1} $ d'autre part. Mais on n'isole pas, parmi les $i\mapsto p_i$, la somme de ceux qui sont positifs et celle de ceux qui sont négatifs.

    EDIT: merci à JLT de nous rappeler les bases!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • effectivement, JLT ! Je me suis convaincu trop hâtivement
  • Joli problème, je le note.
  • L'image de deux points par une fonction polynôme ne détermine ce polynôme que s'il est de degré $2$, je rentre donc dans le magasin pour faire les courses si c'est ce que je suis venu y faire.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • L'image de deux points par une fonction polynôme ne détermine ce polynôme que s'il est de degré 2, je rentre donc dans le magasin pour faire les courses si c'est ce que je suis venu y faire.

    Ah ?
    $f(x)=k x (x-1)$

    je te donne $ f(1)=f(0)=0$. Peux-tu me donner la valeur de k que j'ai en tête ?
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Degré 2, avec plutôt trois points.
    Degré 1 (droite), avec deux points.
  • Bonsoir
    Je n'avais pas vu la réponse de Foys.
    A+
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