Tétraèdre magique - longueur 5

lourrran

Totalement inspiré par cette question de Kolotoko ici

On travaille maintenant avec des tétraèdres un peu plus grands. Chaque arête a une longueur 5 et non plus 4.
On a donc 22 emplacements, et donc on va devoir placer les entiers de 1 à 22, avec exactement les mêmes contraintes : la somme des 5 nombres de chaque arête doit donner toujours le même nombre.

Combien y a-t-il de solutions ?

kolotoko

Bonjour,

quand un tétraèdre est possible, ici, le nombre de solutions est un multiple de 6⁶x4! = 1 119 744 si il y a 22 nombres différents.
Bien cordialement.
kolotoko

marco

Je n'en trouve aucun.
Si la longueur est impaire, il semble qu'il n'y a pas de solution.

marco

En effet, soit $l$ la longueur, il y a alors $n:=6l-8$ nombres à placer sur le tétraèdre. La somme de ces nombres est $n(n+1)/2$. La somme d'une arête $s$ vérifie $6s=n(n+1)/2+2t$ où $t$ est la somme des nombres se trouvant sur les $4$ sommets du tétraèdre.
Donc, si il y a une solution, $n(n+1)/2$ est pair. Comme $n$ est pair, $n+1$ est impair. Et $n/2=3l-4$, donc $n/2$ est pair ssi $l$ est pair.
Donc $n(n+1)/2$ est pair ssi $l$ est pair.
Donc, si il y a une solution, $l$ est pair.

lourrran

Effectivement, pas de solution.
L'exercice de base avec 4 nombres sur chaque arête était déjà assez compliqué ; celui-ci aurait été trop compliqué, s'il n'y avait cette particularité.