opérateurs compacts

Bonjour,

J' aimerai parler d' opérateurs compacts dans une leçon d' agrég sur l' utilisation de la compacité, mais j' aimerai savoir à quoi ils servent. Je sais qu' il y a pleins de résultats concernant ces opérateurs , sur leur spectre...etc. Mais en quoi sont ils utiles? Qu' apportent ils réellement.

Merci

Réponses

  • Je ne suis pas spécialiste, mais il me semble que si on étudie particulièrement les opérateurs compacts, c'est en bonne partie parce pour les autres opérateurs on a beaucoup moins de résultats... Peut-être qu'on peut montrer des truc "bizarres" qui se passent avec les opérateurs non compacts?
    Je pense donc que ce qu'ils apportent, c'est que quand on a un problème où un opérateur compact intervient, on peut faire plein de trucs, alors que si on a un problème faisant intervenir un opérateur quelconque, c'est moins sûr a priori qu'on puisse faire quelque chose.
    A confirmer...
  • Il y a un intérêt majeur; c'est les edp.
    En effet, il y a énormément d'inclusions d'espaces de Sobolev dans d'autres, et elles sont en général compactes.
    De même, les équations faisant entrer en compte le laplacien sont nombreuses, et la première d'entre elle est l'exemple "canonique" $\Delta u=f$ avec $f\in L^2$. La décomposition du spectre du laplacien joue un rôle très intéressant ici.
    Voici une référence; www.ann.jussieu.fr/~chemin/M2Evolution2005.pdf
  • Il y a un intérêt majeur; c'est les edp.
    En effet, il y a énormément d'inclusions d'espaces de Sobolev dans d'autres, et elles sont en général compactes.
    De même, les équations faisant entrer en compte le laplacien sont nombreuses, et la première d'entre elle est l'exemple "canonique" $\Delta u=f$ avec $f\in L^2$. La décomposition du spectre du laplacien joue un rôle très intéressant ici.
    Voici une référence; \lien{www.ann.jussieu.fr/~chemin/M2Evolution2005.pdf}
  • Effectivement beaucoup d'opérateurs rencontés dans la nature sont compacts autoadjoints ce qui permet de leur appliquer la décomposition spectrale.

    Une raison de leur importance est un peu plus théorique: le bidual $K(H)^{**}$ des opérateurs compacts est l'espace $B(H)$ des opérateurs bornés tout entier.
    Au passage le dual $K(H)^{*}$ est l'espace des opérateurs dit nucléaires, qui joue un rôle très important dans l'etude des formes linéaires sur $B(H)$.

    Mais enfin, je ne pense pas que l'on t'embête avec ça. Si tu veux justifier l'importance de cette classe d'opérateurs, tu peux parler d'une sous-classe, celle des opérateurs de Hilbert-Schmidt. Il doit y avoir quelque chose là dessus dans le Brézis.
  • Salut Pilz,

    demande à Karel, je sais que Michel Pierre avait fait un complément de modelisation sur l'equation de la chaleur quand on etait en prépa agreg. Il me semble qu'il avait utilisé pas mal les opérateurs compact et leur propriété.

    Bon travail

    Vincent
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