Algèbre intègre et isomorphisme

christophe c

Je reviens pour "te forcer" à une focalisation psychanalytique.

Dans ce fil, le passage rouge gras est important: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2181830,2183412#msg-2183412

En poussant Alembert pour des raisons classiques, tu as que tout polynôme à coefficients réels $P$ peut s'écrire :

$$ k\times [\prod_i (X-z_i)] $$

avec $k\in \R$.

Avec ta galère $A$, tu as un élément de $a$ qui vérifie $P(a)=0$, donc "moralement" $a=$ l'un des $z_i$. Et ça, ce n'est qu'une intuition, puisqu'il n'y a rien qui te relie $A$ à $\C$ dans les hypothèses.

Cette situation de défi est réjouissante. C'est un grand moment de maths. Tu ne peux pas progresser sans en avoir conscience de ça. Si pour toi, c'est une souffrance, un blocage, une épine dans le pied, ne continue pas à faire des maths, car tu ne les aimeras pas. La quasi-totalité des théorèmes de maths sont de la forme

$$HypotheseTresForte\to ConclusionMicroscopique$$

à cause de l'astreinte de prouver ce que l'on dit. La difficulté à trouver des preuves provient de ce que l'hypothèse est "vraiment trop forte" et fournit un embarras du choix et la conclusion est tellement indigente en général qu'elle est difficile à "avoir comme désir".

C'est donc vraiment un état d'esprit.


Je reviens sur la difficulté défi puisqu'elle a été corrigée de plein de façons dans ce fil. Si un polynôme $P\in \R[X]$ de degré 50 par exemple, vérifie

$$ P(3+11i) =0$$

alors le polynôme $Q:=P\circ (X-3)$ est de degré 50 et vérifie

$$ Q(11i)=0$$

C'est là quelque chose que tu sais depuis ta classe de cinquième. De même, le polynôme $R$ tel que $Q = R\circ (11X)$ vérifie

$$R(i)=0$$

et tous ces polynômes restent à coefficients réels. Tu sais obtenir aussi depuis la classe de cinquième le polynôme $R$ à partir du polynôme $Q$, puisque

$$ R = Q\circ (\frac{1}{11}\times X)$$

Tu avais récemment ouvert un fil sur la division euclidienne, et le clin d'oeil que je t'ai fait y renvoyait. Il est possible d'écrire $R$ sous la forme

$$ R = (1+X^2)S + aX+b$$

en choisissant de bons réels $a,b$.

Comme $R(i)=0$, tu as forcément $ai+b=0$, donc $a=b=0$, (d'ailleurs, exercice: prouve-le) ce qui te donne

$$ R = (1+X^2)S$$

et la non irréductibilité de $R$, donc de $Q$, donc de $P$.

J'ai tapé des double dollar en faisant autre chose en même temps et en grignotant, autrement dit, je n'ai rien d'autre qu'allumer mon PC pour te raconter ces trivialités. Il n'y a pas de "avoir fait des masters"** ou je ne sais quoi comme tu le racontais ci-dessus à propos de tes camarades.


**

OShine a écrit:

Les profs de lycée d'ici ont peut être un master de mathématiques et du coup des connaissances qui me dépassent largement, je me suis arrêté à prépa MP. Je n'ai plus fait de maths en école d'ingénieur.

On n'est à peine au collège (5ième), pas du tout en master (D.E. près et abstraction près)

OShine

Christophe C ce dernier message est très clair merci.

Mais il me semble être un défi de remettre toutes les informations dans le bon ordre. J'ai regardé tout à l'heure, j'essaierai d'y revenir dans la journée pour voir si j'arrive à remettre le puzzle en ordre.

christophe c

De mon téléphone

:-D :-D tu es tombé dans le piège :-D :-D

Je t'ai déjà dit TEXTO tout ça avant sur le fond. Mais vraiment !! J'ai juste délayé et mis 3,11 au lieu de lettres.

Vitesse de lecture... Brice de Nice.

OShine

Je ne comprends pas la logique du raisonnement et je ne sais pas résoudre la majorité des questions.
Il y a troo d'informations et de notations ça m'embrouille.

Je crois que je vais attendre de recevoir mon livre pour lire la correction.

C'est fatiguant de ne rien comprendre pendant 5 jours sur un même exercice.

christophe c

Pfff, c'est normal. Il n'y a pas de logique. J'ai utilisé MOI ma souplesse logique pour te donner les ingrédients "difficiles", c'est-à-dire qui relevaient d'inspiration ou d'habitude des objets abordés et toi tu as plus que LA LOGIQUE DEDUCTIVE à apporter.

On pourrait parler de "la rédaction" à apporter.

Donc n'attends SURTOUT PAS ton livre. De toute façon il ne t'apportera pas une correction de la même qualité, il utilisera plusss d'admis.

OShine

Voici la correction de la question $4$ de mon livre qui est très détaillée. Franchement c'est impossible de trouver tout ça seul. C'est une question infaisable si on l'a jamais vu quelque part.

J'ai compris le raisonnement sauf une seule ligne, celle encadrée. Pourquoi $u^2=-1_A$ ? Pourquoi $a \in Vect(1_A,u)$.
Et comment on pense à poser $u=\dfrac{a-\alpha}{\beta}$ ?

Le reste est super clair. A la fin, l'auteur exhibe un isomorphisme d'espace vectoriels et il montre que c'est un isomorphisme de $\R$ algèbre de $\C$ sur $A$.

Merci d'avance.

JLT

Exercice : soient $\alpha$ et $\beta$ des nombres réels avec $\beta\ne 0$.

a) Trouver une racine complexe $a$ du polynôme $(X-\alpha)^2+\beta^2$. Montrer que $a$ est dans le $\R$-espace vectoriel engendré par $1$ et $i$.

b) Exprimer $i$ en fonction de $a,\alpha$ et $\beta$.

NoName

Voici la correction de la question 4 de mon livre qui est très détaillée. Franchement c'est impossible de trouver tout ça seul. C'est une question infaisable si on l'a jamais vu quelque part.

Voila donc qui prouve bien la théorie des anciens astronautes.

OShine

JLT merci j'ai compris la logique. Il fallait utiliser le fait que $a$ est racine de $\Pi$

On cherche que racine de $P(x)=(x-\alpha)^2+\beta^2$.

On doit avoir $(x-\alpha)^2= - \beta^2$ donc $x- \alpha= i \beta$ d'où $\boxed{a= i \beta+ \alpha}$

Donc $\boxed{a \in Vect(1,i)}$

On a $\boxed{i=\dfrac{a-\alpha}{\beta}}$

Si j'essaie d'adapter aux notations du corrigé, on a : $\Pi(a)=0$ donc $(a-\alpha)^2+\beta^2 1_A=0$

Donc $(a-\alpha)^2 = - \beta^2 1_A$ soit $(\dfrac{a-\alpha}{\beta})^2=-1_A$

On pose $u=\dfrac{a-\alpha}{\beta}$. J'ai juste un petit doute ici, pour montrer que $u \in A$.

Dans une $\R$ algèbre $A$, les nombres réels appartiennent à $A$ ? Ou bien il y a une coquille et il faut écrire $u=\dfrac{a-\alpha 1_A}{\beta}$ ?

Je m'embrouille aussi avec le $1_A$, je ne sais pas quand il faut le mettre et quand il ne faut pas. Si on a $u \beta + \alpha=a$ on a $\alpha \in Vect(1_A)$ ?

Poirot

OShine a écrit:

Franchement c'est impossible de trouver tout ça seul. C'est une question infaisable si on l'a jamais vu quelque part.

Quelle gaminerie...

JLT

Pour savoir si tu dois mettre $1_A$, regarde si ça a un sens. Tu peux multiplier un réel par un élément de $A$ car $A$ est une $\R$-algèbre, mais tu ne peux pas additionner un élément de $A$ avec un réel car $\R$ n'est pas inclus dans $A$.

L'écriture $(a-\alpha)^2+\beta^2 1_A=0$ est incorrecte. Il fallait écrire $(a-\alpha 1_A)^2+\beta^2 1_A=0$.

Et il fallait écrire $u=\dfrac{a-\alpha 1_A}{\beta}$.

Le corrigé est donc formellement fautif, il a fait une identification abusive entre $\R$ et $\{t\,1_A\mid t\in\R\}$. C'est une identification que l'on fait quand on a de l'expérience mais en ce qui te concerne il vaut mieux éviter.

OShine

Merci beaucoup JLT j'ai compris maintenant.

En fait pour la fin certain disaient qu'il n'y a pas besoin s'exhiber l'isomorphisme.
Je trouve que c'est plus clair en l'exhibant.

TrackTrick

christophe c a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2181830,2184806#msg-2184806
Si un polynôme $P\in \R[X]$ de degré 50 par exemple, vérifie
$$ P(3+11i) =0$$ alors le polynôme $Q:=P\circ (X-3)$ est de degré 50 et vérifie
$$ Q(11i)=0$$

Bonjour christophe c...
jusqu'à cette affirmation, tout me semblait clair... et d'un coup je bute !
$ P(3+11i) =0$ alors le polynôme $Q:=P\circ (X-3)$ vérifie $ Q(11i)=0$...
Pourquoi n'est-ce pas $Q:=P\circ (X+3)$ ??
Je me trompe en évaluant ainsi $Q(11i)=P\circ (X-3)(11i)=P(-3+11i)$ ?
Est-ce lié à une confusion de ma part sur le polynôme $(X-3)$ ?

Désolé par avance si c'est une trivialité, mais ...

christophe c

De mon téléphone. Lis TRES ATTENTIVEMENT ce que tu as toi même écrit, tu vas voir..

TrackTrick

Je me sens un peu stupide ... et navré d'abuser de ton temps.
Pas la première fois que je commets des erreurs sur l'évaluation polynomiale. Mais j'ai beau relire, je ne vois pas...

Si je détaille dans $\C[X]$:
Le polynôme $(X-3)$ évalué en $11i$ donnerait le complexe $11i-3$.
Donc, je pensais que pour évaluer le polynôme $Q:=P\circ (X-3)$ en $11i$ on devait évaluer P en $11i-3$

Si je reprends avec l'écriture de $P:=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ d'indéterminée $X$ et de degré $n$, j'aurais donc écris $Q:=\sum_{k=0}^{n}a_k(X-3)^k$

Du coup, là j'écris que $Q(3+11i)=P(11i)$... et je refais la même erreur... que je ne parviens pas à saisir!
J'imagine que fais là une confusion entre le polynôme et la fonction polynomiale associée.
$P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ et $d(x)=x+3$ alors $P\circ d(x) = P\left (d(x) \right )$
$x: \mapsto x+3 \mapsto \sum_{k=0}^{n}a_k(x+3)^k$

Quoiqu'il en soit, @christophe c, merci de prendre du temps pour m'éclairer là dessus... :-S

christophe c

Je n'y arrive pas (j'étais sur mon téléphone, je suis sur mon pc), mais les lettres balancent dans tous les sens, car le ciel est nuageux. Quoiqu'il en soit, je pense que tu es très poli avec moi, mais que je ne le mérite pas, vu le temps que tu as passé, tu dois avoir raison. Moi, tout à l'heure j'ai vu que tu obtenais un $-3+11i$ au lieu d'un $3+11i$ et cru que tu n'avais pas fait attention, c'est tout.

Je pars fumer et au post suivant, je fais tout en détail (en espérant que ma vue soit un peu meilleure). Mais sache que d'expérience quand quelqu'un a ton style et a pris le temps, en général il a raison, c'est juste que je n'arrive pas bien à voir.

christophe c

Bon après vérification, oui tu as 100% raison, et pardon pour le temps que je t'ai fait perdre.

Une bonne écriture est

En prenant $Q:= P\circ (X+3)$,

on obtient:

$Q(11i) = P( \ (11i)\ + 3)=0$

TrackTrick

Merci à toi de te soucier de répondre aux questions que le padawan que je suis, pose à tous les Jedi du forum!

Et je n'ai absolument pas perdu mon temps, car ça m'a obligé à bien mettre au clair des notions qui semblent toujours très simples...et avec lesquelles je prends trop souvent des raccourcis douteux!
Je me souviens encore de ma grossière erreur,pas si ancienne, sur Cayley Hamilton (oui, oui grossière, pacequ'à ce niveau, on est à la limite de l'impolitesse mathématiques (:P) ).

Par ailleurs, je suis en train de travailler sur le sujet I de l'agreg interne de cette année... et j'aurai une petite question très bientôt, au sujet de l'idéal engendré par un polynôme... et de l'ensemble "quotienté" par cet idéal.
Mais cela fera peut être l'objet d'un autre fil, si je ne parviens pas à mes fins !

math78

Bonjour,

Pour la question 1 :
je pense qu'il faut démontrer d'abord que $f$ est un endomorphisme (le reste suit).

L'application $f$ de $A $ dans $A$ qui a $x$ associe $ax$ est bien définie de $A$ dans $A$.
L'application $f$ est linéaire, pour tout $\alpha$ et $\beta \in \R$, et $a,b \in A$ on a :
$f(\alpha x + \beta y) = f(\alpha x)+f( \beta y)=a\alpha x +b\beta y=\alpha a x +\beta by =\alpha f(x) +\beta f(y),$
donc $f$ est un endomorphisme de dimension finie.
Àprès si $a$ nul, évidemment $a$ n'est pas inversible.

[Pour $\LaTeX$, on encadre toutes les expressions mathématiques par des $\$$.
Clique sur "Cite" pour voir comment faire. AD]

OShine

Math78 pour la question 1, dans mon livre on dit directement que dans une algèbre il y a bilinéarité du produit donc l'application est linéaire.

christophe c

TT a écrit:

je n'ai absolument pas perdu mon temps

Bonne nouvelle! ;-)

math78

Je suis d'accord, mais dans la question , il y a le mot "montrer" et donc mon sentiment est que même si dans l'énoncé (A,+,x) est une R-Algèbre intègre de dimension finie $\ge$ 2. Il faut quand même écrire les choses pour bien y répondre.