Sur l'ensemble vide (topo-logique)

tého

Bonjour
L'ensemble vide $\emptyset $ muni de $\{ \emptyset \}\ $ est un espace topologique, mais

l'ensemble $\emptyset $ est-il un espace métrique si on considère l'application de graphe l'ensemble vide $\emptyset$ comme application de l'ensemble $ \emptyset \times \emptyset $ vers $ \mathbb R^+$ en tant que distance $d$ ?

$\underbrace{ \forall x,~ \forall y,~ \underbrace{\Big(\underbrace{ \big(x \in \emptyset ~\land~ y \in \emptyset \big)}_{faux} ~ \Rightarrow ~\big( d(x,y) = d(y,x) \big) \Big)}_{vrai}}_{vrai ~?}$

Mêmes "raisonnements" pour les deux autres conditions concernant une distance.
Merci.

rondo

Bonjour,
je ne vois pas d'erreur dans ton raisonnement à propos de la formule.

D'autre part, j'obtiens comme toi que $(\emptyset,\emptyset)$ est un espace métrique.

christophe c

Oui c'est bon. Il est même compact :-D

topopot

Ahah je m'étais posé exactement la même question il n'y a pas longtemps (et j'étais arrivé à la même conclusion). C'est à se demander pourquoi certains auteurs par ailleurs sûrement bons mathématiciens pour certains, gaspillent de l'encre en rajoutant la condition $X$ non vide pour $(X,d)$ espace métrique. Surtout qu'après ils ne disent jamais (pas même une seule fois) que les ensembles sous-jacents aux espaces métriques dont ils parlent sont bien non vides pour être consistant avec leur (mauvaise) définition. C'est un mystère pour moi.

J'ai l'impression que le même problème se retrouve avec les actions de groupe, où des auteurs supposent inutilement que l'ensemble sur lequel agit le groupe est non vide. Alors que pour tout groupe $G$ agit sur $\emptyset$, via l'application $G\times\emptyset\rightarrow\emptyset$.

AlainLyon

tého écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2181034,2181034#msg-2181034

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> L'ensemble vide $\emptyset $ muni de $\{ \emptyset \}\ $ est un espace topologique

$\emptyset$ est ouvert et $\{\emptyset \}\ $ qu'est-ce que c'est?

Calli

Bonjour,
C'est la topologie.

AlainLyon

Bonjour, $\exists x\in\emptyset, d(x,x)=1$ est toujours vraie donc $d$ n'est pas une distance.

Foys

christophe c a écrit:

Oui c'est bon. Il est même compact

Dire que dans un tel espace aucune suite ne possède de valeur d'adhérence.

Poirot

AlainLyon a écrit:

$\exists x\in\emptyset, d(x,x)=1$ est toujours vraie

Mais bien sûr...

Par contre $\forall x \in \emptyset, d(x,x)=0$ est vraie.

christophe c

@Foys : :-D

Martial

@Foys : "Dire que dans un tel espace aucune suite ne possède de valeur d'adhérence."

C'est vrai. Mais il est vrai aussi que toute suite possède une valeur d'adhérence...

christophe c

:-D :-D

tého

Bonjour,
Maintenant j'ai un doute,

"C'est vrai. Mais il est vrai aussi que toute suite possède une valeur d'adhérence..."

Si : $E = \emptyset $ muni de $\{ \emptyset \}$ est un espace topologique.

Si : une suite est une fonction de $\mathbb N$ dans $E = \emptyset$.

$\emptyset$ est une suite "de cet espace topologique" (la suite vide)

Si "toute suite (de cet espace topologique) possède une valeur d'adhérence".

La suite $\emptyset$ possède une valeur d'adhérence $e$
qui appartient à $E = \emptyset$ (par définition d'une valeur d'adhérence)
donc : il existe $e$, $e \in \emptyset$ !

Je ne trouve pas mon erreur !

Martial

@tého : en fait c'est très simple. Si $E= \emptyset$ il n'y a pas de suite dans $E$. Donc quand tu écris "toute suite admet une valeur d'adhérence", tu écris : si blablabla est une suite, alors blabla".
Comme l'hypothèse est fausse, l'implication est vraie.
CQFD.

Foys

tého: ton raisonnement est correct. Mais il prouve seulement un énoncé du type:
"pour toute suite $v$ à valeurs dans $\emptyset$, contradiction" (tu as noté cette suite $\emptyset$ mais je préfère une lettre non utilisée $v$, en maths $\emptyset$ est plutôt un nom propre i.e. réservé).

Pour vraiment en déduire contradiction, il faudrait démontrer qu'il existe au moins une suite dans $\emptyset$.

Les raisonnements comme ça où on introduit un contexte (i.e. on plante le décor en annonçant les noms des personnages et leur qualité: "soit $x$ un machin; soit $y$ un bidule; soit $z$ un truc") ... puis des raisonnements ("puisque ceci donc cela") puis une conclusion ne citant aucun de ces personnages (exemples possibles "2<3"; "5<4"):
ces raisonnements ne font que prouver l'affirmation "pour tout $x$ machin, pour tout $y$ bidule et pour tout $z$ truc, 2<3".
Pour en déduire "$2<3$", il faudra aussi démontrer qu'il existe au moins un machin, au moins un bidule et au moins un truc
Et dans le cas où il y a "5<4" à la place de "2<3" ce n'est tout simplement pas possible sauf si les maths dans leur ensemble sont contradictoires.

Formellement, les énoncés $\forall x(P\Rightarrow Q)$ et $(\exists x P)\Rightarrow Q$ sont équivalents pour tous énoncés $P,Q$ où la lettre $x$ ne figure pas dans $Q$

GaBuZoMeu

Bonjour,

Ben non, le raisonnement de tého n'est pas correct :

$\emptyset$ est une suite "de cet espace topologique" (la suite vide)

Ah bon ? Qu'est-ce alors que $\emptyset(0)$ ? (Ça devrait être l'unique élément $a$ de $\emptyset$ tel que $(0,a)\in \emptyset$).

Foys

Effectivement mais disons que cette partie se corrige sans trop de mal (juste en prenant un aute nom pour cette fameuse suite à valeurs dans $\emptyset$).

christophe c

Je ne trouve pas mon erreur !

Tu prends chacun des machins que tu n'as pas justifiés (éventuellement tu les numérotes). Dommage que tu aies été aidé (ce n'est bien entendu pas un reproche, mais un constat technique que je fais par rapport à mes convictions sur ce que t'aurait apporté de ne pas l'être) car l'ensemble vide n'est pas très grand à explorer.

@Foys, il ne démontre pas une contradiction, il démontre qu'il existe $e$ tel que $e\in \emptyset$ en considérant comme $e$ exhibé une valeur d'adhérence d'une suite qu'il prétend être une suite à termes dans $\emptyset$.

Ce matin, j'ai été tenté de faire comme GBZM (enfin je voulais lui demander qui était $u(44)$, mais on voit que GBZM a le sens de l'économie), mais je me suis retenu, car je pense qu'on ne disant rien il aurait profondément macéré dans ce que sont ces notions de fonctions, applications, suites, etc.

Je veux dire par là que si le gars (ou la fille) dit : "j'ai gambergé 5H et je ne vois pas" et on lui demande "ok, donc on imagine que durant ces 5H tu es allé voir la définition du mot "suite"" et qu'il/elle répond non...

Bon :-D cela dit, je reconnais que denos jours taper alatoirement suite sur google et en chercher une définition peut emmener vers tout un tas de délires :-D (je n'ai pas essayé)

AlainLyon

Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2181034,2194688#msg-2194688
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Et $\forall x \in \emptyset, d(x,x)=1$ est vraie. Donc $1=0$. On peut aussi déduire aussi que $\mathbb{R}$ est réduit à un seul élément, ce qui est bien pratique pour faire de l'analyse.

gerard0

Ah non, AL,

tu ne démontres pas $1=0$ mais $\forall x \in \emptyset, 0=1$ ce qui ne sert à rien, on pouvait l'écrire d'avance !

tého

Bonjour,

"en fait c'est très simple. Si $E= \emptyset $ il n'y a pas de suite dans $E$"


J'ai le "problème" suivant à résoudre.


Définition 1 :
Quels que soient les ensembles $u, E$
$u$ est une suite d'éléments d'un ensemble $E$
équivaut à
$u$ est une application de $\mathbb N$ ou d'une partie de $\mathbb N$ vers $E$

Définition 2 :
Quels que soient les ensembles $u, D, E$
$u$ est une application de l'ensemble $D$ vers l'ensemble $E$
équivaut à :
$~~~u$ est une partie de $D \times E$
et
$ ~~~ \forall x \big( (x \in D) \Rightarrow \exists y ~( y \in E ~et~ (x,y) \in u )\big) $
et
$~~~\forall x~ \forall y~ \forall y' \Big(\big((x,y) \in u \big) ~et~ \big((x,y') \in u \big) ~~\Rightarrow ~~ y = y' \Big) $


Prenons :

$u = \emptyset~~~$ (l'ensemble vide)
$D = \emptyset~~~$ (l'ensemble vide qui est une partie de $\mathbb N$ )
$E = \emptyset~~~$ (l'ensemble vide)


Peut-on alors dire que $u$ est une suite de (l'espace topologique) $E = \emptyset $ (muni de $\{\emptyset \}$) ?
(Que l'on pourrait alors appeler "suite vide" ?)
Merci.

christophe c

Avec cette définition (incorrecte, elle vient du secondaire et est fausse) oui tu as raison.

Mais la BONNE définition d'une suite c'est d'être définie sur IN tout entier et non pas sur une partie de IN (le secondaire avait la flemme de parler de segment initial ou final)

Les adaptations pédagogiques font souvent des ravages mais on a beau le signaler ça ne change pas. (Il y a aussi que les auteurs de manuels sont sous payés donc renouvellent peu)

AlainLyon

Rebonjour Brigitte, la proposition $\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=1$ et
.$\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=0$ est vraie.
Donc les propositions $\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=1$ et $\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=0$ sont vraies en même temps.
$d$ n'est pas une distance.

christophe c

@AL le symbole "pour tout" s'écrit $\forall$ et non pas $\exists$.

A chacun de tes posts tu te trompes de signes. En latex:

$\forall$ s'obtient par \forall

$\exists$ s'obtient par \exists

tého

Merci pour les réponses.

(Juste pour information, j'ai pris pour définition d'une suite :
"On appelle suite d'éléments d'un ensemble $E$ une famille d'éléments de $E$
dont l'ensemble d'indices est l'ensemble $ \mathbb N$ des entiers positifs ou une partie de $\mathbb N$"
trouvée dans :
N. BOURBAKI
ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES THÉORIE DES ENSEMBLES
Springer (Réimpression inchangée de l'édition originale de 1970))

christophe c

Ah mea culpa, j'ai accusé A TORT le secondaire pour une fois.

Bon bin, quand Bourbaki dit n'importe quoi, c'st toujours un plaisir, c'est si rare :-D

Un point positif donc.

Pour être précis, les suites commencent par fois un plus tard qu'en $0$, donc elles ont un domaine qui est un segment FINAL et les suites finies ont comme domaine un segment INITIAL.

Mais les parties quelconques, là Bourbaki ne devait plus avoir d'encre :-D

Mais le mieux est de ne pas considérer ces cas et dire que le domaine est $\N$, sauf mention EXPLICITE et grasse que non.

Foys

christophe c a écrit:

Bon bin, quand Bourbaki dit n'importe quoi, c'st toujours un plaisir, c'est si rare

En fait dans la pratique des maths véritables les gens ont besoin très souvent de suites finies (i.e. de fonctions définies sur des ensembles comme $\{0,...,n\}$ ou $\{1,...,n\}$ avec $n\in \N$).

Par exemple, soit $F$ une relation fonctionnelle (i.e. telle qu'on peut prouver que pour tous $x,y,z$, $F(x,y)\Rightarrow F(x,z) \Rightarrow y = z$) et $u$ un ensemble. Une histoire célèbre parle souvent des fonctions (des suites finies du coup) $g$ dont le domaine est un ensemble de la forme $\{0,...,k\}$ avec $k\in \N$, telles que $g(0)=u$ et pour tout $i\in \{0,...,k-1\}$, $F\left (g(i-1),g(i) \right )$.
Il existe un ensemble dont les éléments sont exactement ces fonctions et dont la réunion est appelée "suite définie par récurrence". Rien n'implique a priori qu'un tel objet soit défini sur $\N$ tout entier.

EDIT: j'avais pas vu que tu parlais de segment initial. Cela étant une suite peut aussi commencer à $k\geq 1$.

Martial

@Foys : il y a une faute de frappe dans ta définition, à la rubrique "Une histoire célèbre". Il manque un signe $=$ quelque part.

Foys

@Martial, je sais que je commets des quantités industrielles de coquilles mais pas cette fois-là B-)-
J'ai parlé de relation fonctionnelle pour définir la relation de récurrence sans mentionner d'égalité.

Martial

@Foys : sorry, j'avais mal lu.
En fait je pensais au théorème de récursion (celui qui dit qu'on a le droit de définir des suites par récurrence), mais tu ne devais pas parler de ça.

Je suis comme Christophe, je parcours les fils diagonalement, lol.

Foys

Le mot récursion fait plutôt référence à l'informatique théorique mais il s'agit exactement de ça. Le truc est que je le cite pour une relation fonctionnelle $F$ (i.e. un énoncé à deux variables $F(\_, \_)$ tel qu'on peut prouver $\forall x, y, z, F(x,y)\Rightarrow F(x,z)\Rightarrow y=z$; du coup "$F(a)=b$" n'est qu'une autre façon d'écrire $F(a,b)$ et je ne l'emploie pas).

Martial

@Foys : OK, j'ai compris ton point de vue.

[Utilisateur supprimé]

AlainLyon a dit :

Bonjour, $\exists x\in\emptyset, d(x,x)=1$ est toujours vraie donc $d$ n'est pas une distance.

Non, $\exists x\in\emptyset, d(x,x)=1$ est une formule fausse car l'ensemble vide est vide.

[Utilisateur supprimé]

AlainLyon a dit :

Rebonjour Brigitte, la proposition $\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=1$ et
.$\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=0$ est vraie.
Donc les propositions $\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=1$ et $\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=0$ sont vraies en même temps.
$d$ n'est pas une distance.

"$\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=1$", ceci n'est pas une formule.
Idem pour "$\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=1$" et "$\exists x\in\emptyset\Rightarrow d(x,x)=0$"