Norme d'opérateur

Bonjour
Dans mon cours la norme d'opérateur définie par $||u||_{L(E,F)} = \sup \dfrac{||u(x)||_F}{||x||_E}$ est aussi égale à $\sup\limits_{||x||_E \leq 1}{||u(x)||_F}$.

Est-ce qu'on pourrait m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance

Réponses

  • En fait ces 2 quantités sont aussi égales à $S = \sup_{S(O,1)} ||u(x)||$

    Preuve :
    Soit $x \in E$, non nul, alors
    $u(x) = u(x/||x||) ||x||$ et donc $||u(x)||/||x|| = ||u(x/||x||)|| \leq S$ car $x/||x||$ est de norme 1
    En prenant le sup, $\sup_{E \setminus \{0\}} \frac{||u(x)||}{||x||} \leq S$

    Réciproquement, $S(0,1)$ est inclus dans $E \setminus \{0\}$ donc...
  • Tu as oublié une norme, noobey, au milieu de tes inégalités.
  • noobey, n'y a-t-il pas un "$=$" à la place de "$\leq$" dans $||u(x)||/||x|| \leq u(x/||x||)$ ?
  • Excuse moi mais quand tu dis donc... tu essayes de dire quoi noobey?
  • Si c'est écrit texto dans ton cours et si je suis toi , je brûlerais ce cours
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Corrigé.

    Et si $A \subset B$ on a toujours $\sup_A f(x) \leq \sup_B f(x)$ et $\inf_A f(x) \geq \inf_B f(x)$.

    [$\LaTeX$ fournit les commandes \sup et \inf qui gèrent les espacements. ;-) AD]
  • Je ne sais pas si vous avez remarqué cet horreur $\sup\limits_{||x||_E \leq 1}\dfrac{||u(x)||_F}{||x||_E}$.A remplacer par $\sup\limits_{||x||_E \leq 1}||u(x)||_F$
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  • Je ne comprends pas le problème (à part le point x = 0)
  • noobey, tu viens de dire le problème si on prend le sup sur le disque.
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  • En fait gebrane quand j'avais dit que c'était dans mon cours ce n'était pas vrai j'avais pris la définition de norme d'opérateur de wikipédia, je suis désolé pour cette grossière erreur. Dans le cours de mon prof c'est écrit comme tu l'as énoncé toi-même gebrane. Je suis vraiment désolé.
  • Cette question est traitée dans l'exercice 5 page 160 du livre d'analyse.............
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