Primalité des nombres de Fibonacci

donnet

Bonjour,
Un petit sujet facile pour se détendre dans une période qui l'est moins.

Il ne vous a sans doute pas échappé que les nombres de Fibonacci étaient premiers avec leurs deux prédécesseurs et leurs deux successeurs.
Parmi les multiples preuves certaines sont très élégantes.

Sauriez vous retrouver celles d'entre elles qui sont les plus concises.
Courtoisement
Denton

Quentino37

Bonjour
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par là.

"Il ne vous a sans doute pas échappé que les nombres de Fibonacci étaient premiers avec leurs deux prédécesseurs et leurs deux successeurs."(l3)
Si j'ai bien compris si $\ F_{n}\ $ est premier alors \[F_{n-1} ; F_{n-2} ;F_{n+1} \ \text{et}\ F_{n+2}\] sont premiers.
Ce qui est impossible car cela implique que tout les nombres de Fibonacci sont premiers et... c'est faux (1;1;2;3;5;8;13;18;...)
Et c'est pour cela que je ne comprends pas ce que tu voulais dire !
Qu'ai-je mal compris ?

JLT

L'assertion signifie que $\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+1})=\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+2})=1$ pour tout $n$.

Déjà $\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+1})=\mbox{pgcd}(F_n,F_{n}+F_{n-1})=\mbox{pgcd}(F_n,F_{n-1})$ donc par récurrence $\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+1})=1$.

D'autre part, $\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+2})=\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+1}+F_n)=\mbox{pgcd}(F_n,F_{n+1})=1$.

Chaurien

Euh...« premier avec » ce n'est pas premier tout court.

Chaurien

$\left\vert
\begin{array}{cc}
F_{n-1} & F_{n+1} \\
F_{n} & F_{n+2}%
\end{array}%
\right\vert =(-1)^{n}$

donnet

Merci Chaurien
Ta solution tient dans une seule équation.
J'avais une autre identité : celle de Simson (Robert celui de la droite en géométrie)

F_i-2 F_i-1 F_i+1 F_i+2 - (F_i)⁴ = 1,

qui se démontre en faisant le produit de deux identités de Catalan.

(F_i)² - F_i+q F_i-q = (-1)^i+q (Fq)², où q=1 et q=2.

Cela doit pouvoir se faire aussi de la même façon avec l'identité de Cassini.
Y a-t-il d'autres idées ?
Bonne soirée

lourrran

Les nombres de Fibonacci sont premiers avec leurs 2 prédecesseurs... inutile de parler des successeurs.
Si a est premier avec b, b est premier avec a.

ev

@ Lourran

Je croyais que les premiers seraient les derniers.

e.v.

donnet

Cher Lourrran ;

Tu as parfaitement raison .
j' avais employé les deux prédécesseurs et successeurs de F_i parce que Simson les englobe en une seule
et très belle identité qui porte son nom .


Denton

Mohammed R

Quentino37 :
Le 8ème terme de la suite de Fibonacci (dans ta suite, en considérant 1 comme premier terme) est 21 et pas 18, en effet :
$ 1; (0+1=) 1; (1+1=) 2; (1+2=) 3; (2+3=) 5; (3+5=) 8; (5+8=) 13; 8 + 13 = 21$

Quentino37

Bonjour
merci Mohammed R,

Mohammed R

De rien.