Zéros d'une fonction continue

Fulgrim

Bonjour à tous
Je me demande si la propriété suivante est vraie.

Soit $f~:~\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ une fonction continue, et $Z:=\{x\mid f(x)=0\}$. Je munis les $\mathbb{R}$ de la topologie et de la mesure habituelle.
A-t-on $\mu(Z)>0$ implique qu'il existe un intervalle sur lequel $f$ est identiquement nulle ?

J'ai déjà montré que c'est faux dans le cas où $Z$ est seulement indénombrable : le mouvement brownien est un contre-exemple, ou plus simplement on peut construire par récurrence une fonction continue qui ne s'annule que sur l'ensemble de Cantor.

Mais sous la condition plus forte $\mu(Z)>0$ je tourne en rond, et ces contre-exemples ne fonctionnent pas, quelqu'un aurait une indication ?

AlainLyon

$f$ continue, il y a foule de contre-exemples.en voici un $f(x)=0$ si $x\leq 0$ $f(x)=x$ sinon.

Poirot

En modifiant légèrement la définition de l'ensemble de Cantor, on obtient les ensembles de Cantor "gras". Ceux-ci sont de mesure strictement positive mais d'intérieur vide (et d'autres choses intéressantes, mais c'est tout ce qui compte ici). La même construction à laquelle tu penses fonctionnera.

ev

Bonjour Fulgrim.

Une idée par ici ?

e.v.

Poirot

@AlainLyon: je ne vois pas en quoi le signe de $f$ peut intervenir.

AlainLyon

Il n'intervient pas et j'ai un contre-exemple.

Fulgrim

@AlainLyon, merci, mais ce n'est pas un contre-exemple. C'était peut-être un peu flou, donc j'ai modifié mon post pour clarifier ce que je cherche. Un contre-exemple serait une fonction identiquement nulle sur aucun intervalle, mais dont l'ensemble des 0 est non-négligeable.

@Poirot et @ev, merci pour vos indications, je vais y réfléchir ! :-)

Poirot

@AlainLyon : Tu n'as clairement pas compris la question.

Calli

Bonjour,

Fulgrim a écrit:

on peut construire par récurrence une fonction continue qui ne s'annule que sur l'ensemble de Cantor.

On peut se passer d'une construction par récurrence car la fonction $x\mapsto d(x,K)$ convient (distance de $x$ au Cantor $K$).

Fulgrim

@Calli bon eh bien pas besoin de réfléchir plus, merci ! ^^