adjoint d'un opérateur

Sasha1

Soient E et F deux espaces de Hilbert (de dimension infinie eventuellement) et
$$
A:E\longrightarrow F
$$
un opérateur telque $Ker(A)=\{0\}$. Soit
$$
A^*:F\longrightarrow E
$$
son adjoint.

J'aimerais montrer que $Ker(A^*)=\{0\}$, mais je ne suis pas sur que cela soit vrai. Je pense que ca doit être bon si on remplace F par Im(A), mais je n'en suis pas sûr. L'analyse des opérateurs est loin pour moi, et je me permets donc de vous demander un coup de main.

Un grand merci

Pilz0

Souviens toi des relations entre image et noyaux d' un opérateur et de son adjoint...( avec l' orthogonal)

Sasha1

hmm j'imagine que Im(A*) et Ker(A) sont en somme directe orthogonale, quelque chose du genre

Sasha1

et peut-etre qu'il faut ajouter l'adherence à l'un des deux ensembles...

egoroff

En tous cas si $E$ est de dimension finie et $F$ de dimension infinie, aucune chance que ton résultat soit vrai.

Alban

La relation clé qui va permettre de t'en sortir est:
$x\in Ker(A)\Leftrightarrow Ax=0 \Leftrightarrow \forall y, =0$

Sasha1

oui je connais, mais dans ce cas en prennant $F=Im(E)$ et en appliquant ce résultat à $A^*$, je trouve que $A^*$ à un noyau nul, sans me servir de l'injectivité de $A$, c'est ce qui m'a fait sursauter...

soit $y\in Im(A)$
$$
A^*y=0 \Leftrightarrow \forall x \in E, =0 \Leftrightarrow \forall x \in E, =0 \Leftrightarrow y=0
$$

ca me semble étrange...

Alban

Etrange car faux...
Regarde un peu mieux ta dernière équivalence.

Sasha2

je prend $F=im(A)$, donc $\forall x \in E, =0 \Leftrightarrow \forall z \in F, =0 \Leftrightarrow y=0$

je ne vois pas mon erreur

Alban

On a en fait pour la dernière équivalence:
$y \in A* \Leftrightarrow y \in Im(A)^{\perp}$

Ce qui donne $Ker(A^*)=Im(A)^{\perp}$ et donc $Ker(A)=Im(A^*)^{\perp}$

Donc si $Ker(A)={0}$ alors $\overline{Im(A^*)}=E$ et donc que $A^*$ est à image dense.