Taylor pour les opérateurs fonctionnels

Bonsoir,

N'effectuant pas ma thèse à l'université, je me retrouve dans l'impossibilité physique de trouver des ouvrages (d'analyse fonctionnelle je suppose) donnant la formule de Taylor pour des opérateurs fonctionnels. Je voudrais en effet "développer" un opérateur autour d'une fonction f0.
Est-ce seulement possible ? Si oui, existe-t-il une formule ?

D'avance merci pour toute aide.

Amicalement,

Réponses

  • Etant donnés de espaces de Banach $X$ et $Y$, un ouvert $U$ de $X$ et une fonction $f$ de $U$ dans $Y$ de classe $C^n$, on a pour tout $x_0 \in U$ et $h \in X$ tel que $[x_0,x_0+h] \subset U$ :
    $$f(x_0+h) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_0)(h)^k + \frac{1}{(n-1)!} \int_0^1 (1-t)^{n-1} f^{(n)}(x_0+th)(h)^n \, dt$$
    Etant entendu que si $L$ est une application $k$-linéaire on note $L(h)^n=L(h,...,h)$ ($k$ fois). C'est la formule de Taylor avec reste intégral.


    Sous l'hypothèse $f$ de classe $C^n$ sur $U$, on sait que $f^{(n)}$ est bornée sur $[x_0,x_0+h]$, donc il existe $M > 0$ tel que pour tout $t \in [0,1]$ on ait $f^{(n)}(x_0+th)(h)^n \leq M ||h||^n$ ; on en déduit la formule de Taylor-Lagrange :
    $$\left\lVert f(x_0+h) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_0)(h)^k \right\rVert \leq M \frac{||h||^n}{n!}$$


    Enfin, on a Taylor-Young, ou Taylor avec reste asymptotique, sous les hypothèses un peu plus faibles que $f$ est $C^{n-1}$ sur $U$ et $n$ fois différentiable en $x_0$ :
    $$\left\lVert f(x_0+h) - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_0)(h)^k \right\rVert = o \left( ||h||^n \right)$$
  • Merci egoroff (notamment pour le laborieux effort de LaTeX) mais je connais déjà Taylor pour développer une fonction autour d'un point (heureusement quand même ! ;-)). Ce que je recherche, et peut-être n'ai-je pas été suffisamment explicite, c'est un développement d'un opérateur agissant sur une fonction autour d'une fonction.
  • Oui effectivement pour le LaTeX il m'en a coûté !

    J'imagine que tu connais Taylor pour les fonctions, mais un opérateur $L$ sur un espace de fonctions $X$ est bien une fonction sur $X$ !! Et une fonction est bien un point e cet espace fonctionnel.. non ? Si de plus cet opérateur à le bon goût d'être linéaire (c'est ce qu'on sous-entend en général en utilisant le terme "opérateur"), alors ses dérivées successives se calculent aisément.

    Par exemple en calcul des variation on utilise l'opérateur
    $$S : C^1[a,b] \longrightarrow \R, \, \, q \mapsto \int_a^b L(t,q(t),q'(t)) \, dt$$
    où $L$ est de classe $C^2$. La differentielle première est appelée première variation, la différentielle seconde.. seconde variation ! Et il s'agit bien de développer $S$ autour de $q_0$, en particulier si $q_0$ est un point critique de $S$ (i.e. annulant la différentielle première de $S$).

    Mais bon si je suis à côté de la plaque dis-le moi et je me tais ;-)

    PS : si ce n'est pas indiscret, sur quel sujet porte ta thèse ?
  • Désolé de ne pas avoir répondu avant, mais je voulais étudier de plus près ta proposition.
    Premièrement, d'accord avec toi sur le fait que j'ai répondu trop vite.
    Deuxièmement, il y a quelque chose qui me choque grandement dans ton expression. En effet, supposons que l'on passe en discret (c'est à dire qu'au lieu de considérer un opérateur agissant sur les fonctions, on considère une fonction agissant sur un vecteur), la formule de Taylor fait apparaître des sommes sur les dérivées partielles pour chaque ordre. Je m'attendais donc à trouver une intégrale dans le cas d'un opérateur agissant sur une fonction.
    Troisièmement, tu cites l'exemple d'un opérateur agissant sur les fonctions vers R. Mon problème porte sur un opérateur transformant une fonction en une autre fonction.

    Sinon, merci pour le LaTeX, et pour répondre à ton PS, je fais une thèse en statistiques à l'institut français du pétrole à Lyon sur l'analyse d'incertitude et de sensibilité.

    Amicalement,
  • Up !
    (On sait jamais)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.