Exercice d’algèbre commutative

Yannguyen

Bonjour les Amis

Est-il exact que l'idéal $(X^2+1, 13)$ est l'intersection de deux idéaux maximaux dans $\mathbb ZX]$ ?

Dans $\mathbb F_{13}[X]$, on a $X^2+1=(X-5)(X+5)$, ce qui donne dans $\mathbb Z[X]$ l'égalité
$$ (13,X^2+1)=(13,X-5)\cap(13,X+5).\quad ??

$$ Cordialement
Yann

NoName

$\newcommand{\mbb}{\mathbb}$Ben... voui? Géométriquement ca paraît clair, non?
Tu as deux points fermés dans la fibre fermée au dessus de 13 (enfin $(13)$).

Algébriquement, tu peux dire que $(13, X^2+1)$ est le noyau de $\mbb{Z}[X]/(X-5, 13)\times \mbb{Z}[X]/(X+5, 13)$.
Mais la manière dont tu fais le calcul dans $\mbb{F}_{13}[X]$ n'est qu'une manière cachée d'ecrire $(X^2+1, 13)=(X^2-25, 13)=((X-5)(X+5), 13)$ et le théorème chinois fait le reste.

YvetteP

Bonjour Noname,

Le théorème chinois que tu cites
suppose que $I+J=Z[X]$ et par suite $I+J=IJ$.
C'est facile d'après Claude Quitté, car 10 et 13 sont premiers entre eux.
Cordialement,
Yvette