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Autre façon de calculer la variance

Bonjour,
en lisant un cours en statistiques en analyse des données, j'ai lu que la variance d'une variable K est aussi égale à :
(1/2I2) x Somme (Xik - Xjk)2,
avec I est le cardinal de l'ensemble des individus sur lequel a porté l'étude statistique, i et j sont deux individus quelconques et enfin, la somme porte sur tous les i, j. Pour simplifier on pourra par exemple supposer que le cardinal de I est n et à la place de 1/2I² écrire 1/2n². En d'autres termes, si on calcule la somme des carrés des distances entre individus et qu'on la divise par 2n² on trouve la variance de la variable k.

Comment on démontre cette égalité ?
Merci d'avance pour toute réponse me permettant de comprendre cette égalité.
Meli

Réponses

  • Bonjour.

    C'est intéressant, mais plus lourd que le calcul classique de la variance d'un échantillon via le calcul de la moyenne.

    D'ailleurs, quel calcul donne cette moyenne ? Si tu la remplaces par son expression en fonction des $X_i$, qu'obtiens-tu ?

    Ensuite, il y a quelques manipulations algébriques à faire sur le calcul développé, c'est presque immédiat.

    À bientôt.

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  • Si on a un echantillon $X_1,\ldots,X_n$ sa moyenne et sa variance empiriques sont $$\overline {X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,\ V(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline {X})^2.$$ Et tu demandes pourquoi $V(X)=\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-X_j)^2$ et les avantages de cette formule. En fait economistes et sociologues trouvent qu'une difference a plus de sens qu'une valeur, tres dependante d'une origine aussi artificielle que les zeros Celsius ou Farenheit. Pour montrer la formule on remarque avant que pour $j$ fixe $$\sum_{i=1}^n(X_i-\overline {X})
    (X_j-\overline {X})=(X_j-\overline {X})\sum_{i=1}^n(X_i-\overline {X})=(X_j-\overline {X})\times 0=0.\ \ \ (*)$$ Ensuite, astuce, on ajoute et on retranche $\overline {X}$ ainsi, on utilise $( a+b)^2=a^2+b^2+2ab$, on utilise (*), la symetrie et enfin la definition de $V(X):$

    $$\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-\overline {X}+\overline {X}-X_j)^2=\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(X_i-\overline {X})^2+(\overline {X}-X_j)^2]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-\overline {X})^2=V(X)$$
  • Merci infiniment pour vos retours (Dreamer et P).
    très cordialement : Meli
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