petit exo sympa

Bonjour,

Juste à titre indicatif j' aimerais savoir combien de temps vous mettez pour résoudre l' exo suivant ( si vous ne le connaissez pas déjà ):

A et B deux matrices carrées ( réelles par exemple) et AB=A+B montrez que AB=BA.

La solution tient juste en une ligne !

Amusez vous bien

Réponses

  • Bonjour,

    J'ai une solution (mais qui prend un peu plus d'une ligne, donc il y a plus court !) :

    $2(AB+BA)=(A+B)^{2}-(A-B)^{2}
    =(A+B)^{2}-(AB-2B)^{2}=ABAB-(AB-2B)^{2}$

    En développant, on obtient :
    $2(AB+BA)=4AB^{2}-4B^{2}=4(AB-B)B=4AB$
    On en déduit que $AB=BA$

    Amicalement.
    Olivier.
  • Salut Pilz

    est ce que par hasard ça ne serait pas AB=A+B=B+A=BA (A et B jouant des rôles symétriques et l'addition étant commutative) ?

    A+
    Thom
  • Ca a à voir avec l'identité "remarquable" : $AB-A-B+I=(A-I)(B-I)$. On a donc $(A-I)(B-I)=I$, donc $A-I$ inversible, d'inverse $B-I$, donc aussi $(B-I)(A-I)=I$ (l'inverse à droite est aussi l'inverse à gauche) et vogue la galère.

    Mine de rien, l'"identité remarquable" précédente sert parfois.
  • L'enoncé implique que (I-A)(I-B)=I, donc (I-B)(I-A)=I, ce qui
    donne le resultat en developpant.

    A+

    eric
  • Ah, tu m'as doublé Le Furet, bien joué ! ;-)

    eric
  • Je suis assez furtif : je passe par ici, je repasse par là...
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