Article sur la suite A173732

Bonsoir.
Je me permet de poster ici, car il semble que c'est le sous-forum pour celui qui semble avoir découvert certaines choses, et il me semble que j'ai découvert certains faits sur la suite référencée A173732 https://oeis.org/search?q=A173732&sort=&language=&go=Search qui ne semblent pas encore connus.
Il s'agit d'un tout petit article de rien du tout mais j'aimerais vraiment le publier.

Le principe de l'article me semble clair, mais j'aimerais un avis sur :

_ Ma présentation est bien claire, correcte, complète, publiable, ...
_ Mettre le doigt sur les choses qui ne sont pas claires et qui pourraient être mieux expliquées
_ Une éventuelle connaissance d'articles ayant peut-être déjà traité la question.
Comme je l'ai écrit, j'ai bien cherché mais je suis peut-être passé à côté.
_ La seule référence extérieure est un article que son auteur à retiré en 2018, je me demande si je peux l'intégrer et si je dois faire une bibliographie pour cela (je ne sais pas en faire).
J'ai aussi mis un lien hypertexte vers la suite A173732 en cliquant sur OEIS dans la footnote, mais ce n'est pas très clair, je corrigerai cela assez vite.

Je ne m'offusquerai pas et suis prêt à discuter de tout aspect qui ne va pas.
Pour info, mon LaTeX est un peu rouillé et, ne fut-ce que dans la présentation des tableaux, j'apprécierais un coup de main pour faire plus joli et compréhensible.
À bientôt.

[Edit : Correction de métadonnées dans le fichier.]

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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

Réponses

  • Tu navigues entre 2 conventions : les termes sont numérotés 0,1,2,3,4 .. dans la suite OEIS, et les termes sont les termes de rang impair dans une pré-version de ton texte.
    Et cela entraine quelques erreurs mineures.
    En particulier, quand tu divises la suite en 2 lignes, pour être consistant avec le reste, il faudrait parler des termes d'indice pair (et non 4n-3) pour la 1ère ligne et des termes d'indice impair pour la 2ème ligne.

    Tu dis aussi un peu plus haut, 'malheureusement on ne peut aller plus loin... '
    Tout dépend des outils dont on dispose dans sa boite à outils.
    On divise par 2 autant de fois que c'est possible ... oui, exprimé comme ça, c'est artisanal.

    Notons $\mathcal{v}_2(k)$ la valuation 2-adique de k.
    $U_n = \dfrac { ( 6n+4 ) / 2^{\mathcal{v}_2(6n+4)} -1}{2}$.
    Hop, on a une formule explicite pour $U_n$.

    Donc ton malheureusement ... il est adapté si on s'interdit d'utiliser les valuations p-adiques, mais il n'est plus adapté si on utilise les outils de l'arithmétique 'moderne'.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Merci, je vais analyser les valuations 2-adique.

    Edit. Pour info, je n'y connais rien en analyse p-adique.

    Ok aussi pour l'histoire du rang, je vais tenter d'être plus clair.

    Edit. Ce que je voulais mettre en avant, c'est que justement, les termes d'indice impairs de la suite de départ sont bien ceux de la forme $4 \cdot n - 3$ et les termes d'indice pair sont bien ceux de la forme $4 \cdot n - 1$ car c'est de cette manière indirecte que je les ai trouvés, avant de faire le lien entre-eux au niveau d'un tableau qui n'est en fait qu'une représentation synthétique et visuelle pour faciliter la lecture de l'article.

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  • Bonjour,

    Soit $n$, un entier de la forme $6\,x+4\,$, $x \ge 0$, et $p$, la plus grande puissance de 2 qui divise $n$. La suite A173732 est obtenue en calculant
    $$
    \frac12\Big(\frac{n}{2^p}-1\Big),

    $$ avec $x$ variant de 0 à 19 on obtient les 20 premiers termes de cette suite : 0, 2, 0, 5, 3, 8, 2, 11, 6, 14, 0, 17, 9, 20, 5, 23, 12, 26, 3, 29

    ERRATA : il faut lire "et $p$, l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise $n$". Autrement dit, $2^p$ est la plus grande puissance de 2 qui divise $n$.
  • Merci Wilfrid.

    Cette procédure est aussi très simple. L'algorithme que j'utilise, partant des impairs, est lié à cette procédure, mais cela risque de ne pas se voir car mon indice commence à 1 au lieu du $x=0$ que tu emploies.

    Encore merci.

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  • Bon, puisque personne ne l'a remarqué je vais expliquer à quel point je ne me suis pas foulé pour trouver la formule ci-dessus. Aller sur la page de la suite A173732 et descendre jusqu'à trouver la ligne
    Mathematica : Array[(#/2^IntegerExponent[#, 2] - 1)/2 &[6 # + 4] &, 75, 0] (* Michael De Vlieger, Oct 06 2019 *)
    
    Ce que j'ai expliqué dans mon précédent message est la traduction en clair de cette ligne de code, qui affiche les 75 premiers termes de cette suite en commençant par ce que j'ai traduit par $x=0$ puis en l'incrémentant successivement.

    C'était pour rendre à César ce qui appartient à César.

    A noter qu'on obtient exactement la même suite en remplaçant $6\,x+4$ par $24\,x-8,96\,x-32,384\,x-128,1536\,x-512\,$, etc., cette fois-ci avec $x>0$. On commence par $a\,x-b=24\,x-8$ puis on multiplie $a$ et $b$ par 4 à chaque fois. Mais je suppose que tu l'avais remarqué.

    @Mathi.10,

    $U_n=\left\lfloor \dfrac{(65\,n+2)^n}{15\,(2^{n+1}\,n^n)}\right \rfloor$
  • Bonjour Wilfrid et merci.

    En ce qui concerne la procédure de César, je l'avais effectivement vue dans les explications sur la suite.

    Pour info, dans le pdf de l'article que j'ai mis en début du fil, il y a un lien vers cette suite sur l'OEIS dans la note en bas de la première page.

    Je suis par contre plus intéressé par ta remarque sur la multiplication par 4, mais j'ai un peu de mal à comprendre.
    As-tu retrouvé cette information sur le site de l'OEIS ?
    Si oui, pourrais-tu me dire à quelle ligne ?
    A coup sûr je suis passé outre, cela clôturerai probablement la question.

    Encore merci.

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  • Dreamer a écrit:
    As-tu retrouvé cette information sur le site de l'OEIS ?

    Non, je ne passe pas mon temps à plagier ! :-) J'ai un peu bidouillé pour trouver cette multiplication par 4. Je ne vais pas t'expliquer comment parce que ce serait compliqué et ça n'en vaut pas la peine.

    Ce que ça veut dire est que si tu remplaces $6\,k+4$ (je change ma notation) dans

    $n_k=\dfrac12 \left(\dfrac{6\,k+4}{2^u}-1 \right)\,$, où $k \ge 0$ est le rang d'un terme $n$ dans cette suite, et $2^u$ la plus grande puissance de 2 qui divise $6\,k+4$

    par $24\,k-8$ ou $96\,k-32,384\,k-128,1536\,k-512\,$, etc., avec $k>0$ cette fois-ci, tu obtiens la même suite. C'est dû au fait que $(6\,k+4)/2^u$ (premier k=0) et $(a\,k-b)/2^u$ (premier k=1) ont la même valeur.
  • [suite du précédent]

    $\dfrac{24\,k-8}{2^u}=2^{3-u}\,(3\,k-1)$

    $\dfrac{96\,k-32}{2^u}=2^{5-u}\,(3\,k-1)$

    $\dfrac{384\,k-128}{2^u}=2^{7-u}\,(3\,k-1)$

    Etc.

    Ce qui change c'est la valeur de $u$, mais en incrémentant $k$ à partir de 1 on obtient toujours 1, 5, 1, 11, 7, 17, 5, 23, 13, 29, 1, 35, 19, 41, 11, 47, 25, 53, 7, 59, 31, etc.
  • On part d'un nombre ( 6n+4 dans la version standard, et on commence par le diviser par 2 autant de fois que c'est possible.

    Wilfrid suggère de partir du même nombre multiplié par 4 ou par 16 ou par 64 ; bien évidemment, comme le traitement commence par une série de divisions par 2, autant de fois que c'est possible, ça ne change rien.

    Pourquoi envisager les divisions par 4, 16, 64 .. mais pa)s par 2 , 8, 32 ... j'ai une vague idée.
    Pourquoi remplacer 24k+16 par 24k-8 ... c'est une habitude chez Wilfrid, il ne s'intéresse pas au reste de la division par 24, mais au complément qu'il faut ajouter pour que la division par 24 tombe juste.

    La question qui pourrait être plus intéressante, c'est pourquoi l'article dans OEIS part de 6n+4, et pas plus simplement de 3n+2.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • lourran a écrit:
    pourquoi l'article dans OEIS part de 6n+4, et pas plus simplement de 3n+2 ?

    La suite est effectivement la même (il va falloir aller tirer les oreilles de Michael De Vlieger et sans doute d'autres personnages). Mais pourquoi as-tu écrit $6\,n+4$ et pas $3\,n+2$ dans ton premier message ?
  • Bonjour.

    Wilfrid, la suite dont tu parles dans ton dernier message est la A075677, j'en parle dans l'article que j'ai mis au début.

    Et désolé si cela te semble compliqué pour l'explication, mais je ne crois pas que ça ne serve à rien.
    Je patienterais jusqu'à ce que tu veuilles bien me l'expliquer, par mp au besoin.

    Lourrran : la suite peut démarrer à 6x+4 car c'est simplement la première étape (démarrage depuis un impair) qui est passée sous silence et on peut effectivement aussi faire la première division par 2.
    A mon sens, c'est juste passer sous silence certaines étapes.

    Par contre, je suis vraiment désolé mais j'ai du mal avec la valuation 2-adique mais j'aimerais vraiment comprendre car cela m'aiderait à coup sûr pour simplifier certains passages de mon article.

    A bientôt

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  • @Dreamer,

    Lourran a raison : on peut diviser $24\,k-8$ directement par 2, ce qui donnera $12\,k-4$. Faire $(12\,k-4)/2^{u_1}$ donne le même résultat que $4\,(12\,k-4)/2^{u_2}$. La seule différence est que $u_2=u_1+2\,$ puisqu'on divisera deux fois de plus par 2 pour le même résultat impair.

    EDIT : finalement, on peut partir de $(24\,k-8)/4=6\,k-2$. Ensuite, faire $2^b\,(6\,k-2)$ avec $b>0$ ne changera pas le résultat. On divisera seulement $b$ fois de plus par 2, c'est-à-dire qu'au lieu de pouvoir diviser par $2^u$ on pourra diviser par $2^{u+b}$.
  • Non, on ne part pas de $6\,k-2$ mais de $3\,k-1$. Ensuite, avec $2^b\,(3\,k-1)$ on obtiendra toujours la suite A173732.
  • Prenons un nombre premier p
    Dans notre cas, on s'intéresse uniquement au cas p=2, mais la définition est valable pour n'importe quel nombre premier.

    Valuation p-adique d'un entier n :
    Prenons un entier n

    n se décompose de façon unique en produits de facteurs premiers $n = \Pi{ p_i^{\alpha_i} } $

    Exemple : $336 = 2^4*3*7$
    Dans la décomposition en facteurs premiers de $n$, on s'intéresse uniquement à l'exposant de 2 . Ce nombre (l'exposant de 2 dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers), c'est la valuation 2adique de $n$.
    [small]Et plus généralement, la valuation p-adique de n, c'est l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n.
    Et encore pus généralement, si p est un nombre composé, j'imagine que le concept existe... mais peu importe.[/small]

    $\mathcal{v}_2(336)=4 $ parce que $336/2^4$ donne un nombre entier impair.

    La présentation est un peu tordue, mais tout ça pour dire : $x/ \mathcal{v}_2(x) $ , non, pardon, $x/ 2^{\mathcal{v}_2(x) }$ , c'est le nombre qu'on obtient quand on divise x par 2 autant de fois que c'est possible.
    ou, la même chose : c'est le premier nombre impair qu'on obtient quand on divise par 2 , et qu'on répète cette division par 2.

    Edit : correction suite à la remarque de bisam
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Merci lourrran, je commence à comprendre mais il va me falloir un peu de temps pour réarranger l'article.

    A bientôt.

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  • lourran : A la fin, ce devrait être : $\dfrac{x}{2^{v_2(x)}}$.
  • Dans ton article, ça ne change pas le fond (y a-t-il du fond d'ailleurs dans cet article ... disons que oui pour être bienveillant).

    Soit n un entier quelconque.
    Notons $IMP(n)$ le premier impair obtenu en divisant n par 2 autant de fois que c'est possible (tant que le résultat obtenu est un entier).
    Pour clarifier , $IMP(n)= n$ si n est impair, $IMP(n) = n/2$ si n est pair, mais non multiple de 4 etc etc.

    En utilisant les valuations 2-adiques, cela revient à dire $IMP(n)$ par $IMP(n) = n/ 2^{v_2(n)}$

    Ta fonction $IMP()$ est bien définie, tu peux l'utiliser dans ton texte

    J'ai choisi de nommer cette fonction IMP(), parce que dans la décomposition en facteurs premiers de n, c'est la composante impaire.
    Mais à toi de trouver un autre nom plus explicite si tu veux.

    Et tu ne t'embêtes pas avec ces valuations $p$-adiques. Je ne sais pas quand ce terme de valuation $p$-adique est apparu et s'est généralisé, mais c'est assez récent, et on peut très bien faire de l'arithmétique sans l'utiliser.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Dreamer a écrit:
    Et désolé si cela te semble compliqué pour l'explication, mais je ne crois pas que ça ne serve à rien.
    Je patienterai jusqu'à ce que tu veuilles bien me l'expliquer, par mp au besoin.

    Ça peut effectivement servir à quelque chose. Tout d'abord, on voit que cette suite se contient elle-même, probablement un nombre infini de fois. On part du second 0 :

    0, 2, 0, 5, 3, 8, 2, 11, 6, 14, 0, 17, 9, 20, 5, 23, 12, 26, 3, 29, 15, 32, 8, 35, 18, 38, 2, ...

    Comme le premier 0 occupe la position 0 dans cette suite, les nombres rouges occupent les positions successives 2, 6, 10, 14, ..., c'est-à-dire les nombres de la forme $4\,x-2$.

    $6\,x+4$ avec $x=4\,x-2$ donne $24\,x-8$

    On part maintenant du 3ème 0 :

    0, 2, 0, 5, 3, 8, 2, 11, 6, 14, 0, 17, 9, 20, 5, 23, 12, 26, 3, 29, 15, 32, 8, 35, 18, 38, 2, 41, 21, 44, 11, 47, 24, 50, 6, 53, 27, 56, 14, 59, 30, 62, 0, 65, 33, 68, 17, 71, 36, 74, 9, 77, 39, 80, 20, 83, 42, 86, 5, 89, 45, 92, 23, 95, 48, 98, 12, 101, 51, 104, 26, 107, 54, 110, 3, ...

    Les nombres rouges occupent les positions successives 10, 26, 42, 58, ..., soit les nombres de la forme $16\,x-6$

    $6\,x+4$ avec $x=16\,x-6$ donne $96\,x-32$

    Pour passer de $24\,x-8$ à $96\,x-32$ on a multiplié par 4. Si on partait du 4ème 0 on obtiendrait $4\,(96\,x-32)=324\,x-128$. Mais on peut simplifier : $(24\,x-8)/8=3\,x-1\,$, puis $4\,(3\,x-1)=12\,x-4$, puis $48\,x-16\,$, etc.

    Voici le graphe de cette suite (il faut cliquer sur l'image pour l'agrandir). On voit que tous les chemins aboutissent à 0 :115734
  • Bonjour.

    Merci lourrran, je vais voir ce que je peut faire du concept. Quant-a l'analyse p-adique, mes recherches m'ont conduit à des articles de début 1880, cela ne semble pas tout récent.

    Wilfrid, tu viens de donner ce que je pensais peu connu. Ma représentation se fait sous forme de tableau, mais le fond, si fond il y a, est dans ce que tu décris, de manière bien plus esthétique dans ton dernier message.

    Au vu de cela, ça semble donc assez connu. Peut-être qu'un article n'est plus si utile finalement.

    A bientôt

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  • Dreamer a écrit:
    Au vu de cela, ça semble donc assez connu.

    Tu connais beaucoup de suites qui permettent de construire un graphe dans lequel tous les chemins partent de 0 et retournent à 0 ?
  • Wilfrid, non et c'est d'ailleurs la raison pour laquelle je cherchais des articles antérieurs au mien.

    Tu sembles avoir déjà fais cette découverte. Peut-être as-tu déjà publié quelque chose là-dessus ?

    Pour l'histoire, mon début de recherche date de décembre 2020 (il y a 2 mois). Depuis lors, je cherche quelqu'un qui aurait déjà publié cela.

    Je pensais qu'au moins le découpage "ce qui est connu-ce que j'ai trouvé" était clair dans l'article, et je ne cache pas, dès le premier message de ce fil, que je cherche quelqu'un qui puisse me donner des références à ce sujet (du style "Machin à déjà publié cela en ..., voir le lien vers l'article ...").

    Actuellement, tu sembles être la seule personne à avoir fait les mêmes conclusions que moi (sous une autre forme, mais c'est accessoire), j'en ai déduis que tu avais de la documentation.

    Je me trompe ?

    Edit : Pour la petite histoire aussi, la plupart du temps, quand je fais des découvertes comme cela, au bout d'une semaine de recherche je tombe sur un article antérieur qui traite de cette découverte, qui est donc une redécouverte ou un truc bien connu. C'est bien la première fois que ça ne se passe pas comme d'habitude.

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  • Dreamer a écrit:
    Je me trompe ?

    Oui. J'ai découvert cette suite en lisant ce sujet.

    Je pense que ce qui fait sa particularité est en lien avec le caractère cyclique du concept de "division par la plus grande puissance de 2". Si on l'applique à l'ensemble des entiers naturels non nuls on trouve que l'exposant de 2 est successivement

    0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, ...

    0 figure toutes les 2 positions, 1 toutes les 4 positions, 2 toutes les 8 positions, etc.

    Par rapport à ce que j'ai dit précédemment, le plus surprenant dans tout ceci est qu'on ne sait pas quelle est la position du premier 0 par lequel on fait débuter cette suite. J'ai trouvé $24\,x-8$, ou $3\,x-1$, en partant du 2ème 0. Doit-on considérer pour autant que j'ai fait débuter la suite par son 3ème terme ? Bien sûr que non. Si on remplace $3\,x-1$ par $2^b\,(3\,x-1)$ avec $b$ successivement égal à 2, 4, 6, on obtient la même suite en la "faisant débuter" par son 3ème puis 4ème et 5ème 0. Avec $b=3$ on obtient encore la même suite mais sans pouvoir situer son 1er 0 dans la suite d'origine, tout simplement parce qu'on va ensuite diviser par $2^{u+3}$ au lieu de diviser par $2^u$, ce qui ne changera rien au résultat.
  • Je suis perplexe...

    Wilfrid, dans un de tes précédents messages, tu as évoqué un fait en me demandant si je l'avais vu.

    Quand je t'ai demandé si tu avais vu cela sur le site de l'OEIS, tu m'as dit ne pas plagier. Soit.

    Je t'ai donc demandé quelle information était à ta disposition et tu as présenté un graphe (qui, de ce que j'ai vu, est une écriture différente de ce que j'ai constaté, ce qui t'as donc demandé un temps certain à réaliser).

    Je t'ai ensuite demandé quelle était la source de cela et tu me dis que c'est l'article que j'ai posté ici il y a deux jours...

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  • C'est très simple. Dans

    $n_k=\dfrac12 \left(\dfrac{2^b\,(3\,k-1)}{2^u}-1\right)$

    avec $k=1$, quel que soit $b$ on obtiendra toujours 0, premier terme de la suite. Explication :

    $b=0$ : $2^0\,(2)$ est divisible par $2^1$ pour donner 1, et $(1-1)/2=0$.

    $b=1$ : $2^1\,(2)$ est divisible par $2^{1+1}$ pour donner 1, etc.

    $b=2$ : $2^2\,(2)$ est divisible par $2^{1+2}$ pour donner 1, etc.

    Pour en revenir aux résultats dont je t'ai indiqué comment je les avais obtenus, c'est-à-dire $3\,k-1\,,12\,k-4\,,48\,k-16\,$, ils reviennent à donner à $b$ les valeurs successives 0, 2, 4.
  • D'accord, c'est très simple une fois compris le principe.
    Il n'en reste pas moins que, dans la littérature que j'ai consultée jusqu'ici, je n'ai pas vu le développement dont je parle ni les conclusions.
    Donc, quand je l'aurai fini, je posterai mon article remanié en y ajoutant tout ce que je pourrais trouver s'y rapportant.
    À bientôt.

    Edit. Et pour info, la dernière suite que tu évoques est aussi sur l'OEIS, en lien avec celle de ce fil.

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  • Dreamer a écrit:
    Et pour info, la dernière suite que tu évoques est aussi sur l'OEIS, en lien avec celle de ce fil.

    Pourrais-tu préciser stp ?
  • Désolé, je n'avais pas vu la demande.

    Il s'agit tout simplement de la suite des valuations 2-adiques des naturels strictement positifs, comme tu l'avais sans doute bien remarqué.

    A bientôt.

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  • Je ne vois toujours pas où se trouve cette suite sur l'OEIS. L'adresse de la page, peut-être ?
  • En cherchant OEIS Valuation 2adique, on tombe assez vite sur cette page : OEIS
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Merci ! Je comprends maintenant le sens de la phrase "la dernière suite que tu évoques est aussi sur l'OEIS". :-)
  • @Dreamer,

    Quand on sait que 100 personnes vont lire un message, au lieu d'écrire "la suite que tu évoques se trouve sur l'OEIS", ce qui oblige 100 recherches de la suite dont il est question suivies de 100 recherches sur l'OEIS, on écrit : "la suite que tu évoques dans ce message se trouve sur cette page de l'OEIS".

    Simple question d'efficacité, mais aussi de souci de faciliter la vie d'autrui.
  • Bonjour.

    Merci Wilfrid, tu pointes un souci que j'ai, car je ne veux pas utiliser le système de citation.

    Je serais par contre intéressé de savoir si le système de numérotation des messages d'un fil est accessible et où il se situe.

    De la sorte, je pourrais être plus efficace.

    Encore merci et à bientôt.

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  • Dreamer
    Si tu passes la souris sur la recopie du titre dans un message (juste en dessous du nom de l'auteur) clic droit ouvre un menu où tu peux choisir "Copier l'adresse du lien" et la coller où bon te semble pour référencer ce message.
    AD
  • Merci, AD.

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