Exercice sur les suites prépa sup
Réponses
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Bonjour.
J'ai lu ce que tu as écrit, je ne vois pas où tu as un problème (j'ai juste noté que tu n'as pas noté $f_{n+1}(x_n)< f_{n+1}(x_{n+1})$ au moment où tu le démontres).
Cordialement. -
J’ai l’impression qu’il y a une erreur ou quelque chose que je n’ai pas justifié, mais si ce n’est pas le cas alors super!
Mais sinon, je bloque sur la question 3, je n’arrive pas à démarrer -
Salut. J'ai cherché une heure sur ta question 3 sans y arriver. En bidouillant sur geogebra je peux cependant affirmer que la limite cherchée est 1, et que $1-1/n < x_n$ pour tout $n$. Mais je n'ai pas de preuve.
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Pour la 3) Ta suite est croissante et bornée donc elle converge.
De plus tu as pour tout $m>0$, $x_m^{2m+1}e^{x_m}=1$, en prenant le logarithme tu arrives à $\ln(x_m)+\dfrac{x_m}{2m+1}=0$. À partir de là tu devrais pouvoir montrer que la limite trouvée par Boole et Bill est la bonne. -
Je vais suivre cette affaire de près ! J'ai aussi essayé de "logarithmer" mais sans succès.
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Soit $ a \in\, ]0,1[$ alors $f_n(a) =a^{2n+1}\exp(a)$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
On en déduit qu'à partir d'un certain rang $x_n>a$, cela étant vrai pour tout $ a \in\, ]0,1[$, la limite est 1 -
Merci pour vos réponses
Est ce que cela est correct d’écrire :
On a : ln(xm) + xm/(2m+1) = 0
Par passage à la limite sur les inégalités :
lim m—> l de ln(xm) + xm/(2m+1) = 0
Or comme lim m—>l de xm = l on a :
ln(l) = 0
Soit l = 1
Est ce correct? -
C'est un passage à la limite sur une égalité, non sur une inégalité.
N'écris pas $\ln \ell$ avant de t'assurer que $\ell>0$.
Tu peux avoir la limite même sans savoir que la suite est monotone, en utilisant juste le fait qu'elle est bornée.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
D'accord avec Chaurien.
Déjà on justifie que $l \ne 0$ car $(x_n)$ est strictement croissante.
On a $\forall n \in \N, \ 0<x_n<1$ et la suite $(x_n)$ est strictement croissante. D'après le théorème de la limite monotone, $(x_n)$ converge vers $\sup \,]0,1[ =1$.
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