Exercice sur les suites prépa sup

Bonsoir,
Je rencontre quelques problèmes sur un exercice en maths sur les suites
Je vous envoie l’énoncé et ce que j’ai fait
Merci pour vos retours115460
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Réponses

  • Bonjour.

    J'ai lu ce que tu as écrit, je ne vois pas où tu as un problème (j'ai juste noté que tu n'as pas noté $f_{n+1}(x_n)< f_{n+1}(x_{n+1})$ au moment où tu le démontres).

    Cordialement.
  • J’ai l’impression qu’il y a une erreur ou quelque chose que je n’ai pas justifié, mais si ce n’est pas le cas alors super!
    Mais sinon, je bloque sur la question 3, je n’arrive pas à démarrer
  • Salut. J'ai cherché une heure sur ta question 3 sans y arriver. En bidouillant sur geogebra je peux cependant affirmer que la limite cherchée est 1, et que $1-1/n < x_n$ pour tout $n$. Mais je n'ai pas de preuve.
  • Pour la 3) Ta suite est croissante et bornée donc elle converge.

    De plus tu as pour tout $m>0$, $x_m^{2m+1}e^{x_m}=1$, en prenant le logarithme tu arrives à $\ln(x_m)+\dfrac{x_m}{2m+1}=0$. À partir de là tu devrais pouvoir montrer que la limite trouvée par Boole et Bill est la bonne.
  • Je vais suivre cette affaire de près ! J'ai aussi essayé de "logarithmer" mais sans succès.
  • @Boole et Bill

    La suite converge vers un réel $0 \leq l \leq 1$, d'après l'indication de Raoul.S c'est direct en utilisant la continuité de $\ln$ sur $]0,1[$ et le caractère séquentiel de la limite.

    $x_m \sim l$ car $l \ne 0$ par stricte croissance.
  • Soit $ a \in\, ]0,1[$ alors $f_n(a) =a^{2n+1}\exp(a)$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
    On en déduit qu'à partir d'un certain rang $x_n>a$, cela étant vrai pour tout $ a \in\, ]0,1[$, la limite est 1
  • Merci pour vos réponses
    Est ce que cela est correct d’écrire :

    On a : ln(xm) + xm/(2m+1) = 0
    Par passage à la limite sur les inégalités :
    lim m—> l de ln(xm) + xm/(2m+1) = 0
    Or comme lim m—>l de xm = l on a :
    ln(l) = 0
    Soit l = 1
    Est ce correct?
  • C'est un passage à la limite sur une égalité, non sur une inégalité.
    N'écris pas $\ln \ell$ avant de t'assurer que $\ell>0$.
    Tu peux avoir la limite même sans savoir que la suite est monotone, en utilisant juste le fait qu'elle est bornée.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • D'accord avec Chaurien.

    Déjà on justifie que $l \ne 0$ car $(x_n)$ est strictement croissante.

    On a $\forall n \in \N, \ 0<x_n<1$ et la suite $(x_n)$ est strictement croissante. D'après le théorème de la limite monotone, $(x_n)$ converge vers $\sup \,]0,1[ =1$.
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