L'image d'une droite par une affinité

fricadelle

Bonjour

Je ne comprends pas cette démonstration de la proposition suivante :

"L'image d'une droite, par une affinité de rapport non nul, est une droite"

Plus spécifiquement, la dernière phrase qui dit:

"La relation précédente montre que l'homothétie de centre O qui transforme A en M, transforme aussi A' en M' ".

Pour moi si on note $\alpha = \frac{\overline{OM}}{\overline{OA}}$, alors il faut montrer en utilisant "la relation précédente" que $\overline{OM'} = \alpha \overline{OA'}$. Or... je n'y arrive pas.

Merci pour votre aide.

PS: la démonstration est tirée du livre de Bernard Truffault aux éditions éllipses "Géométrie Elementaire"

fricadelle

Bon merci pour ce silence fort instructif, mais que pensez-vous de cette explication (toujours pour expliquer le dernier paragraphe):

l'homothétie $h$ de centre O qui transforme $A$ en $M$ transforme également $a$ en $m$ puisque l'image de $a$ par $h$ appartient à la droite $D$ ainsi qu'à la droite parallèle à $(Aa)$ passant par $M$, c'est-à-dire $(Mm)$ ($(Aa)$ et $(Mm)$ étant toutes les deux parallèles à la direction $\delta$ de l'affinité). [j'utilise les propriétés basiques de l'homothétie]

On a alors $\frac{\overline{mM}}{\overline{aA}} = \frac{\overline{mM''}}{\overline{aA'}} $ où j'ai noté $M''$ l'image de $A'$ par $h$, que je sais appartenir à $(Mm)$ pour les mêmes raisons qu'invoquées plus haut.

Mais alors "la relation précédente" implique que $\frac{\overline{mM''}}{\overline{aA'}} = \frac{\overline{mM}}{\overline{aA}} = \frac{\overline{mM'}}{\overline{aA'}} $ et donc que $\overline{mM''}= \overline{mM'}$ et ainsi $M' = M''$, l'image par $h$ de $A'$.

gerard0

Bonjour.

Je n'avais pas vu ton message, mais ,pour moi, cette phrase est une conséquence immédiate de la propriété classique : L'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle.

L'image de A est M, donc l'image de (AA') est (MM'), et l'image de A' est sur (MM'), alignée avec O et A'.

Cordialement.

fricadelle

Alors certes, mais qui nous dit que l'image de M par l'affinité (M' donc) est bien sur la droite OA' ?

gerard0

Heu ... c'est dit dans le paragraphe : "Si d et D sont sécantes en O ...".

Tu ferais bien de rédiger ta propre démonstration au lieu de regarder celle-ci. En employant la même organisation. Tu connaîtras tes propres hypothèses, et tu en tireras tes propres conclusions ... et tu comprendras alors cette preuve (*).

Cordialement.

(*) C'est comme ça qu'on étudie les démonstrations, en les faisant.

fricadelle

Merci pour votre aide. Cela dit j'ai bien compris la preuve, seulement le dernier passage me paraissait aller un peu vite: comment montrer que M', qui est l'image de M par l'affinité de rapport k est bien l'image de A' par l'homothétie de centre O et qui transforme A en M.

Je ne vois pas du tout le rapport avec "d et D sont sécantes en O" ici.

En fait dans ce que j'ai détaillé, je dis juste que l'image de A' par l'homothétie en question (qu'on utilise simplement pour la preuve ! le but est de démontrer que l'image de la droite (OA) par une affinité est bien une droite (en l'occurence OA')) ne peut être que M' (l'image de M par l'affinité)...

Cordialement

gerard0

Ah, j'ai soigneusement relu la preuve de ta pièce jointe, et effectivement, le problème est de justifier l'alignement de O, A' et M'. Et effectivement, c'est ce que tu as détaillé dans ce message.
Désolé d'avoir mal lu la démonstration (j'avais une autre présentation en tête, inversée).

Cordialement.