Intégrale à paramètre

Ratyl

Bonjour je bloque sur un exercice et ai besoin de votre aide.
Je vous montre ce que j’ai déjà fait et ce qui me semble juste.
Je bloque sur l’hypothèse de domination car je trouve 1/t qui n’est pas intégrable.
Merci !

bisam

Pour le théorème de dérivation, tout comme pour celui de continuité, tu peux te contenter de prouver une domination sur chaque segment inclus dans l'ensemble où varie $x$, ici $\R_+^*$.

ev

Bonjour Ratyl.

Tu as laissé tombé l'exponentielle dans ta dernière majoration.
C'est elle qui fait tout converger (lorsque $x>0$.

Ce n'est pas prudent.

e.v.

Ratyl

bisam écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2153690,2153694#msg-2153694
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

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Pour la question a, ce que j’ai fait est juste ?
Pour la question b, je dois prendre un intervalle ]0,A] avec A strictement positif ?
Si c’est bien cela, la majoration g(t) = 1/A ?

Ratyl

ev écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2153690,2153698#msg-2153698
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

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Pour la question a, je n’ai pas le droit de majorer l’exponentielle par 1 ?

ev

Bien sûr que tu as le droit !

Comme de te donner des coups de marteau sur la tête¹.

Seulement ensuite, dans les deux cas, tu ne peux plus continuer.

Suis les conseils de Bisam - que je salue - places²-toi dans un intervalle \( [ a, {+\infty}[ \) (pour \( x \) bien sûr)
et majore avec modération.

Tu avais remarqué qu'à la question 2) on était passé de \( \R_+ \) à \( \R_+^* \) ?


¹ Ne faites pas ça chez vous.

² Suppression du esse impérative.

bisam

Tout a été dit. Si tu ne vois pas de quoi on parle, c'est qu'il te manque de la pratique sur ce genre d'exercices.
Pour ta situation, c'est plutôt sur des intervalles de la forme $[A,+\infty[$ avec $A>0$ qu'il faudrait se placer... mais je t'avais même suggéré des segments.
Tu dois dominer par une fonction de la variable $t$ qui ne dépende plus de $x$... mais elle peut bien sûr dépendre du segment (ou de l'intervalle) choisi.

Quant à la question a), elle est juste. Inutile de modifier ta preuve.

Ratyl

Je pense avoir compris :
Pour t appartenant à R+, x appartenant à [A, +oo[ la valeur absolue de f est inférieur ou égale à t / exp(at) (1+t²) qui est équivalent à l'infini à 1/ t*exp(at)

Il me reste a montrer que 1/exp(at) est intégrable

Et cela pourra me permettre de conclure que F est C1 et ensuite il faudra que je réutilise la même méthode avec F' pour montrer que F est C2

ev

Oui c'est ça.

À condition de faire \( A := a \).

Fais gaffe à l'orthographe. Chaurien - que je salue - veille au grain. Il est d'autant plus pète-sec que son haricot bénéficie désormais de l'IGP.

e.v.

bisam

Ce serait quand même mieux de dominer par $\dfrac{t}{1+t^2}e^{-At}$ (soit $a:=-A$, n'en déplaise à ev, que je salue en retour (:P) )

Ratyl

Pour la question c je vois pas trop comment m'y prendre je sais que j'ai ça :

F(x) = intégrale f(x,t) dt
F'(x) = intégrale f'(x,t) dt
F''(x) = intégrale f''(x,t) dt

bisam

Ne pourrais-tu trouver une combinaison linéaire de $F$, $F'$ et $F''$ qui soit facile à calculer ?

Chaurien

Merci ev pour cette information qui m'avait échappé. Alors, respect (:P) !
Et fais gaffe toi-même à ne pas confondre indicatif et impératif («places-toi »).
Bien cordialement,
Fr. Ch.

Chaurien

Quant à cet exercice, il y a beaucoup à dire, on verra quand ce sera terminé.
On le trouve déjà dans : J. Bass, Exercices de mathématiques, Masson et Cie, 1968 (vert), p. 320.
Ça ne nous rajeunit pas, disait mon oncle Émile.
Et on le trouve aussi en bien d'autres endroits.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Ratyl

En fait je me rends compte que je trouve une relation entre F, F’ et F’’ si je dérive par rapport à t ?