Exercice nombre rationnel et irrationnel

Mr_Propre_

Bonjour, j'ai un exo en algèbre linéaire qui se ramène plutôt à de l'arithmétique je pense donc je le poste ici.

Montrer que la famille suivante est libre : $ (1,\ \sqrt2\, \sqrt3 )$ comme famille du $\Q$ espace vectoriel de $\mathbb{R}.$

Donc pour prouver que la famille est libre je dois affirmer que la combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle seulement si tous les coef sont nuls.
Soit $ a,b,c \in \mathbb{Q}$, on écrit $a + b \sqrt2 + c \sqrt3 = 0$.
Ici je vois bien que $a,b,c$ sont rationnels et les racines de $2/3$ sont irrationnels. Donc si j'exprime $a$ en fonction de $b$ et $c$ je finirai par avoir une contradiction. Je décide de tout élever au carré et j'obtiens :
$ a^2 + 2ab\sqrt2 + 2ac\sqrt3 + 2b^2 + 2bc\sqrt6 + 3c^2 = 0.$
Or, je ne vois pas du tout comment faire, arrivé à ce stade. On pourrait exprimer $a^2$ en fonction du reste mais je ne vois pas... comment prouver que $a,b,c$ doivent être nuls ? Je vous remercie !

Chaurien

$a + b \sqrt 2=- c \sqrt 3$, etc.

gerard0

Bonjour.

J'aurais plutôt élevé au carré l'égalité $-a=b\sqrt 2 + c\sqrt 3$, pour en déduire que en général ça donne $\sqrt 6$ rationnel. Bien entendu après avoir éliminé les cas b=0 et c=0.

Cordialement.

NB : Chaurien a été plus rapide.

paco

Avec l'égalité a+b$\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0 $ tu trouves facilement que b$\sqrt{2}+c\sqrt{3} $ est un rationnel.
Tu peux prouver qu'à partir de là que b$\sqrt{2}-c\sqrt{3}$ est aussi rationnel.
Puis tu as b=??
Cordialement

Mr_Propre_

Ah oui avec l'égalité :
$$-a=b\sqrt 2 + c\sqrt 3$$ si je l'élève au carré et que j'exprime $\sqrt6$ en fonction du reste je trouve que $\sqrt6$ est rationnel ceci est impossible donc $a,b,c$ sont nuls.
Idem avec $a + b \sqrt 2=- c \sqrt 3$.

Je vous remercie ! Bonne soirée.

gerard0

Attention,

tu utilises le fait que bc est non nul. Ce qui n'est pas assuré.

Mr_Propre_

Ah oui dans ma supposition vu que la famille est liée alors a,b,c sont non nuls donc je peux diviser sans crainte. A la fin j'en conclus que a,b,c sont nécessairement nuls donc c'est une famille libre. Je vous remercie pour ces précisions.

gerard0

Non, dans la définition de famille liée, ce n'est pas "a, b, c non nuls", c'est "au moins un des trois nombres a, b, c non nul". Sinon, dans $(\mathbb R^2,+,.)$ la famille ((0,0),(0,0),(0,0)) serait libre puisqu'on peut écrire 2.(0,0)+3.(0,0)+5.(0,0) = (0,0).

Cordialement.

Calli

Bonjour,
Ton dernier exemple ne marche pas Gérard. Avec la définition alternative de la liberté, ((0,0),(0,0),(0,0)) serait quand même liée. En revanche, ((0,0),(0,1),(1,0)) serait libre, alors qu'avec la vraie définition c'est une famille liée.

gerard0

Oui,

merci Calli, je m'étais perdu en route (l'âge !!).

Cordialement.