Racines n-ièmes inclus dans racines 2n-ième

Bonsoir
J’aimerais montrer que l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité est inclus dans l’ensemble des racines 2n-ièmes de l’unité.

Pour cela je fixe un élément z dans Un, l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité
Je sais que z est de la forme : z = e^(i*2k*pi/n) avec k appartenant à { 0 ; 1 ; ... ; n-1 }
Je veux montrer que z est de la forme : z = e^(i*k’*pi/n) avec k’ appartenant à {0 ; 1 ; ... ; n-1 }
En posant k’=2k, j’obtiens k’ appartient à { 0 ; 2 ; ... ; 2n-2 }
Est-ce que je dois dire que j’ai k appartient à { 0 ; 2 ; ... ; 2n-2 } et donc appartient à { 0 ; 1 ; ... ; n-1 } et donc que les racines n-ièmes sont inclus dans les racines 2n-ième de l’unité ?
Merci.

Réponses

  • Pour montrer que $U_n$ est inclus dans $U_{2n}$ , il suffit de montrer que chaque élément de $U_n$ est également un élément de $U_{2n}$.

    Soit $z$ une racine n-ième de l'unité.
    Donc $z^n=1$
    Calculons $z^{2n}$ ...

    Etc etc
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • J'ai du mal à imaginer deux choses pour remplir un "etc." -- qui est pluriel -- alors deux...
  • Bonjour,
    Merci de vos réponses, je dois avouer que la question était idiote et je l’ai résolue depuis.
    J’ai quelques soucis sur mon devoir maison (je suis en PTSI), je me permets de vous l’envoyer.
    J’ai fait les questions 1-2-3-4 en entier. La question 5 je ne trouve pas la deuxième partie. Enfin pour la question 6, c’est sur celle-ci dont j’aurai besoin d’aide en priorité ; j’ai montré que g est bijective, cependant les questions suivantes me bloquent un peu.
    Merci de votre aide.114610
  • Désolé j’ai écrit en vitesse
    Si quelqu’un accepte de m’aider sur le sujet en lui-même je suis preneur.
  • Pour la 6. b) sachant que pour tout $z\in \mathbb{U}_n$, $g(z)=z^2$ et que $f$ vérifie $(C)$, $\psi$ ne peut être que ce qu'on pense de prime abord... il faut juste procéder à une petite vérification supplémentaire.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.