$\limsup u_n$ est valeur d'adhérence de $u_n$

Bonjour,
comment prouve-t-on que la limite sup de $u_n$ est une valeur d'adhérence de la suite ${(u_{n})}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

Dans un livre que j'ai emprunté à la bibliothèque, il est écrit :
"$a_n=\sup_{k \geq n}$
[...]
Cas où $a_n>-\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tel que $a_q<-\infty$ pour un $q \in \mathbb{N}$.
Dans ce cas, $a_n \in \mathbb{R}$ pour tout $n \geq q$. Pour tout $n \geq q$, il existe $\phi(n) \geq n$ telle que $a_n - \frac{1}{n} \leq u_{\phi(n)} \leq a_n$ par définition du sup. La suite ${(u_{\phi(n)})}_{n \geq q}$ est donc une sous-suite de ${(u_{n})}_{n \in \mathbb{N}}$, elle converge vers $a={lim}(a_n)$, donc $a$ est bien une valeur d'adhérence de ${(u_{n})}_{n \in \mathbb{N}}$."

Ma question est donc : en quoi ce raisonnement permet-il d'affirmer que $\phi$ est bien une extraction, c'est-à-dire qu'elle est bien strictement croissante ?

Par ailleurs, en cherchant sur Internet, j'ai souvent trouvé des résultats où on construisait $\phi$ par une formule de récurrence implicite. Comme par exemple ici, dans le théorème 2 : http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/agreg/limsupliminf.pdf. En revanche , je ne parviens pas à comprendre pourquoi $\phi$ est-elle croissante. J'ai l'impression que c'est légèrement trop compliqué pour que je l'utilise si j'ai a répondre à la question en examen.

Quelqu'un aurait-il des explications s'il vous plaît ?
Ou éventuellement une preuve simple de niveau licence compréhensible et exécutable en moins de quelques minutes s'il vous plaît ?

Réponses

  • Bonjour,

    Soit $(u_n)_{n\in\N}$ majorée et, pour tout $n\in\N$, $a_n=\sup_{k\geqslant n}u_k$. Pour tout $n\in\N^*$ et tout $N\in\N$, soit $$E^{n}_N=\{k\in\N\mid k\geqslant N\;\text{et}\;u_k\geqslant a_N-\frac{1}{n}\}\neq\varnothing$$ par définition de $a_N$. Soit $\varphi\colon\N\to\N$ définie par : $$\left\{\begin{aligned}&\varphi(0)=0 \\ &\forall n\in\N, \kern0.5em\varphi(n+1)=\min E^{n+1}_{\varphi(n)+1}\end{aligned}\right..$$ Pour tout $n\in\N$, $\varphi(n+1)\in E^{n+1}_{\varphi(n)+1}$ donc, en particulier, $\varphi(n+1)\geqslant \varphi(n)+1$. Ainsi, $\varphi$ est strictement croissante. De plus, pour tout $n\in\N$, $$a_{\varphi(n)+1}-\frac{1}{n+1}\leqslant u_{\varphi(n+1)}\leqslant a_{\varphi(n+1)},$$ donc la suite extraite $(u_{\varphi(n)})_{n\in\N}$ tend vers $\lim a_n=\overline{\lim}u_n$.
  • Merci beaucoup. Je ne cesserai de m'émerveiller qu'il y ait des gens savants qui répondent à des questions mathématiques de tout type, très rapidement et toute l'année, sur ce forum. Merci Audeo.
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