Unicité d'un max

Bonjour.

Une question peut-être simple mais je bloque.

Il s'agit, b étant un vecteur non nul fixé, de maximiser le produit scalaire de b par x sur un ensemble du type N(x) = 1, où N est la norme euclidienne associée à une matrice symétrique définie-positive A fixée.

Su l'existence du max est facile, et qu'il est possible de le calculer explicitement par multiplicateurs de Lagrange par exemple, je cherche un argument plus élémentaire pour m'assurer de l'unicité de la solution à ce problème (sans calcul explicite de celle-ci donc). Ça a l'air simple pourtant mais je bloque.

Merci à vous !

Réponses

  • Ça commence par s’il existe deux nombres $x$ et $y$ qui maximisent alors $b.x=b.y$ donc $b.(x-y)=0$.
    Mais ai-je bien compris ?
  • Oui, c'est bien ça. Si je visualise bien la chose il s'agit de dire que, si deux nombres sont égaux à un élément de l'orthogonal de b près, alors la norme sera un peu perturbée, ce que je veux bien croire mais n'arrive pas à faire.
  • Bonjour,$\def\t{{^t}\!}$ $\def\et{\text{ et }}$
    Soit $m=\max\limits_{\langle x,Ax\rangle=1} bx$. Alors $\{x\mid \langle x,Ax\rangle=1\et \langle b,x\rangle=m\}$ est en bijection avec $$\{\sqrt{A}x\mid \langle x,Ax\rangle=1\et \langle b,x \rangle=m\}= \{y\mid \|y\|=1\et \langle b',y\rangle=m\}$$ où $b':=A^{-1/2}b$. Or $\|y\|=1 \Rightarrow \langle b',y\rangle \leqslant \|b'\|$ avec égalité ssi $y$ est colinéaire avec $b'$ et de même direction, i.e. si $y=b'/\|b'\|$. Donc $$ \{y\mid \|y\|=1\et \langle b',y\rangle=m\}=\{b'/\|b'\|\}$$ et $$\{x\mid \langle x,Ax\rangle=1\et \langle b,x\rangle=m\}= \{A^{-1}b/\|b'\|\}$$ qui est de cardinal 1.

    Édit : Correction de $ \{b/\|b'\|\}$ en $ \{A^{-1}b/\|b'\|\}$.
  • Merci Calli ! La question venant d'un partiel de M2 maths pour la biologie dans lequel certains n'ont pas forcément la culture mathématique pour connaître l'existence de la racine carrée (venant de bio), si une autre preuve est proposée je prends. Mais en tous cas c'est simple et clair, encore merci !
  • Autre présentation plus concise et sans racine carrée de matrice : $\def\l{\langle}$ $\def\r{\rangle}$
    $\l .,A\,.\r$ est un produit scalaire (par définition d'une matrice symétrique définie positive) donc $\l b,x\r= \l A^{-1}b, Ax\r \leqslant \l A^{-1} b,A A^{-1}b\r \l x,Ax\r$ avec égalité ssi $x$ est colinéaire à $ A^{-1} b$ et de même sens. Avec la condition sur la norme, ça donne une unique possibilité, donc l'argmax est unique.
    Je ne sais pas si les biologistes connaissent l'inégalité de Cauchy-Schwarz abstraite générale et son cas d'égalité. C'est tout ce dont on a besoin.
  • Merci beaucoup, je n'avais pas pensé à écrire $b = AA^{-1}b$.

    Merci énormément encore !
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