Changement de var dans une int double...

elodouwen

Bonjour
j'ai à calculer $\iint\cos\dfrac{\alpha(y-x)}{y+x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ sur un carré style $(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)$.
En changeant $(x,y)$ pour $(x+y,x-y)$ je me retrouve au final avec une intégrale de la forme $\int x \sin(k+\frac{m}{x})\mathrm{d}x$ et je bloque
j'ai tenté aussi $(x y,\frac{y}{x})$ mais sans succès.
Une idée ?

raoul.S

Pourtant avec ton premier changement de variables ça a l'air de marcher : tu poses $u=x+y$ et $v=x-y$, le Jacobien vaut $-1/2$ et donc $$\iint\cos\dfrac{\alpha(y-x)}{y+x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2}\iint\cos\dfrac{\alpha v}{u}\mathrm{d}u\mathrm{d}v

$$ sur le domaine approprié.

elodouwen

oui mais du coup lorsque tu dois faire cette dernière intégrale double, comment tu fais ?

Si tu commences à intégrer en $v$, ensuite tu [te] retrouves avec une primitive du type $\int\cos(\frac{k}{x})\mathrm{d}x$... je suis désolé je bloque sur quelque chose qui semble simple...

raoul.S

Hum en fait tu as raison j'ai regardé trop rapidement. Sur Wolfram Alpha on voit que la primitive n'est pas "élémentaire" et s'exprime à l'aide du sinus intégral...

elodouwen

Ouf je me sens moins nul... :-)

elodouwen

bonjour, je mets le fichier original au cas où j'aurais loupé quelque chose dans l'énoncé.
C'est une étudiante que j'aide et qui avait cela à faire. Et moi je n'y arrive pas...:-(

Fin de partie

Elodouwen:

Idéalement pour faire ce calcul on a envie de faire un changement de variable qui comporterait $u=\dfrac{9(y-x)}{y+x}$.*
La difficulté étant souvent dans ce type de calcul de déterminer le nouveau domaine d'intégration.


*: il faudrait compléter avec $v=...$ pour avoir un nouveau domaine d'intégration qui soit simple à déterminer et/ou le plus simple possible.

elodouwen

Je me souviens d'un prof qui nous avait donné 3 conseils avant les examens :
1) lire l'énoncé
2) lire l'énoncé
3) lire l'énoncé...
C'était un trapèze et non pas un rectangle ici comme je l'avaisimaginé au départ, J'avais confondu les points donnés avec {(2,5),(2,2),(5,5),(5,2)}
Rt les bornes étant différentes ça ne marchait pas
Ici tout va bien j'ai même tenté sans la finir d'intervertir les variables
J'espère ne pas avoir fait d'erreur
Vincent

elodouwen

J'ai profité de cet exercice pour rédiger un autre petit exercice que je qualifierais de "panorama de qq changement de variable en intégrales doubles".
Si vous en voyez d'autres je les intègrerais.
Mon document est théoriquement consultable sur mon site quand celui ci est à jour ce qui est rare
Vincent