Théorème hypothétique

Sneg

Bonjour,

J’aimerais savoir s’il existe un théorème qui dirait quelque chose comme ceci :
$p$ et $q$ étant deux nombres premiers impairs distincts, si $2^p \equiv -1 \pmod{q}$, alors $2^q\not\equiv -1 \pmod{p}$.

Merci d’avance.

LP

Bonjour,
supposons que $2^p \equiv -1~[q]$ et $2^q \equiv -1~[p]$.

Comme $2^p \equiv -1~[q]$, $4^p \equiv 1~[q]$ donc, comme $p$ est premier, l'ordre $d$ de $4$ dans $(\Z/q\Z)^*$ est $1$ ou $p$. Si $d = 1$ alors $q=3$ donc $p$ divise $2^3+1=9$ i.e. $p=3=q$ ce qui est exclu. Ainsi, $d=p$ donc par le théorème de Lagrange (ou de Fermat dans ce cas), $p$ divise $q-1$ et, en particulier, $p<q$.

Par le même raisonnement, $q<p$ ce qui est contradictoire.

Ainsi, ces deux cas s'excluent l'un l'autre.
LP

Sneg

Un tout grand merci, LP, pour ton explication claire.