Fonctions mesurables et intégration

Ratyl

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Poirot

Pour la 2)a) tu devrais plutôt penser au Lemme de Fatou, il n'y a aucune raison que le théorème de convergence dominée s'applique ici.

Pour la 2)b) il faut justement appliquer le théorème de convergence dominée à la suite $(g_n)_n$.

Ratyl

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Ratyl

Je voulais savoir si dans la question 2b, les hypothèses du début sont toujours vérifées (mis a part que fn converge vers f).

Poirot

Quelle est la définition de "$f$ est intégrable" ?

Oui dans la 2)b) les hypothèses du début sont toujours en vigueur.

Ratyl

f est intégrable sur E si et seulement si l’intégrale de f est absolument convergente sur E
L’hypothèse que fn converge simplement vers f est toujours vérifié ? Parce que dans l’énoncé il est écrit qu’on veut montrer que fn converge vers f

Poirot

Bon alors si $\int_E |f_n| \,\mathrm{d}\mu \leq l$, ne peux-tu pas affirmer que $f$ est intégrable ?

Tu as des problèmes avec les différentes notions de convergence. Dans les hypothèses de l'exercice, $(f_n)_n$ converge simplement, c'est-à-dire ponctuellement vers $f$. Le but de la seconde question est de montrer que $(f_n)_n$ converge vers $f$ au sens de la norme $L^1$, ce qui n'est pas la même chose.

Ratyl

En fait c’était tellement évident que f était intégrable puisque dans l’énoncé il est écrit que l’intégrale de f est absolument convergente que je me suis perdu tout seul à essayer de démontrer quelque chose de déjà prouvé (je me suis dit que c’était trop « facile »..)

Merci je vais attaquer la question suivante !