Au bord de la folie ?

Bonjour,

J'aimerais savoir si ce que j'écris ci-dessous est cohérent ou si je délire.

Soient :
$p$, un nombre premier impair,
$m$, un entier strictement supérieur à $0$.

Je cherche les valeurs de $p^m$ vérifiant la congruence $2^{(p^m)}\equiv -1\pmod{(p^m)^2}$.

Je commence par réécrire cette congruence comme ceci : $2^{(p^m)}\equiv (p^m)^2-1\pmod{(p^m)^2}$.
On s'aperçoit que $(p^m)^2-1\equiv -1\pmod{p}$.

Or, je constate au moyen d'essais chiffrés que, si $2^{(p^m)}\equiv x \pmod{(p^m)^2}$, alors $x\equiv 2\pmod{p}$.

Donc :
$-1 \equiv x \equiv 2 \pmod{p}$,
$-1 \equiv 2 \pmod{p}$,
$3 \equiv 0 \pmod{p}$,
d'où l'on tire que $p$ (premier) divise $3$. Donc $p=3$.
???

Cela dit, je ne peux pas me prononcer sur d'autres valeurs de $m$ que $m=1$.

Merci d'avance pour vos remarques.

Réponses

  • Ton étape d'introduction de $(p^m)^2$ est inutile. Si $(p^m)^2$ divise $2^{p^m} + 1$ alors en particulier $p$ divise $2^{p^m}+1$. Autrement dit, si tu as une congruence $a \equiv b \text{ mod } c$ et si $d \mid c$ alors on a aussi $a \equiv b \text{ mod } d$.

    Ton deuxième point vient du fait que si $p$ est impair, alors d'après le petit théorème de Fermat on a $2^p \equiv 2 \text{ mod } p$, donc en mettant cette congruence à la puissance $p$, $2^{p^2} \equiv 2 \text{ mod } p$ et par récurrence, $2^{p^m} \equiv 2 \text{ mod } p$.
  • Bonjour, Poirot, et grand merci.

    Et que conclure à propos de $m$ ?
  • Sneg a écrit:
    $\left[\ldots\right]$
    Soient $p$ un nombre premier impair et $m>0$ un entier. Je cherche les couples $\left(p;m\right)$ tels que $2^{p^m}+1\equiv0\pmod{p^{2m}}$.
    $\left[\ldots\right]$
    Solution : le couple $\boxed{\left(3;1\right)\text{ est l'unique solution}}$.
    Preuve : on raisonne par analyse-synthèse :
    $\quad$Analyse : soit $p$ un nombre premier impair et $m>0$ un entier tel que $2^{p^m}+1\equiv0\pmod{p^{2m}}$. Puisque $m>0$ alors $p|p^{2m}$ donc $2^{p^m}+1\equiv0\pmod{p}$. D'après le petit théorème de Fermat, $2^p\equiv2\pmod{p}$ ce qui s'étend par induction simple à $2^{p^m}\equiv2\pmod{p}$. Ainsi, $2^{p^m}+1\equiv3\equiv0\pmod{p}$ soit $p=3$. Pour trouver $m$, on utilise le lemme LTE (Lifting the exponent) : puisque $3|\left(2+1\right)$, que $3\not|2$, $3\not|1$ et que $3^m>0$ est impair alors $\nu_3\left(2^{3^m}+1\right)=\nu_3\left(2+1\right)+\nu_3\left(3^m\right)=m+1$ (ici, $\nu_3$ désigne la valuation $3$-adique). Donc, comme $3^{2m}$ divise $2^{3^m}+1$, il doit diviser $3^{m+1}$ (la plus grande puissance de $3$ qui divise $2^{3^m}+1$) d'où $m+1\geqslant2m$ et finalement $m=1$.
    $\quad$Synthèse : on a $2^3+1=9\equiv0\pmod{3^2}$ donc le couple $\left(3;1\right)$ est bien solution au problème.
    $\quad$Conclusion : par analyse-synthèse, nous venons de montrer que $\boxed{\left(3;1\right)\text{ est l'unique solution au problème}}$.
  • Merci, F_Adrien,
    J’ai vu ton message et le lirai attentivement dès que possible.
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