Congruence

Sneg

Bonjour,
Je dois résoudre une congruence qui présente la forme : $$a\equiv 0 \pmod{(p_1^{\alpha}\times p_2^{\beta}\times p_3^{\gamma})^2}$$
où $p_1 < p_2 < p_3$ sont des facteurs premiers non diviseurs de $a$,
et où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des exposants entiers strictement positifs.

Cela revient-il bien à résoudre le système de congruences suivant ? :
$a\equiv 0 \pmod{(p_1^{\alpha})^2}$
$a\equiv 0 \pmod{(p_2^{\beta})^2}$
$a\equiv 0 \pmod{(p_3^{\gamma})^2}$
Et si une au moins de ces congruences n'a pas de solution, alors le système n'a pas de solution. C'est bien ça ?

Merci d'avance.

Poirot

$\require{cancel}$Oui c'est la même chose, il suffit de regarder ce que la condition impose pour les facteurs premiers de $\cancel{\color{red}{\alpha}}\quad a$.

[Edit : correction comme indiquée plus bas. ;-) AD]

Sneg

Bonjour et merci, Poirot !

Tu écris : « Il suffit de regarder ce que la condition impose pour les facteurs premiers de $a$. »
Pardonne-moi. Je ne comprends pas.
Ici, $a$ est une quelconque puissance, à exposant entier strictement positif, de $2$ : $2^1$, $2^2$, $2^3$, etc. Et les facteurs premiers du module sont impairs.

babsgueye

Salut.

Regarde le théorème des restes chinois, ça pourra t'aider je pense.

Poirot

Il n'y a pas besoin d'invoquer le théorème chinois pour ce cas particulier de congruence !

@Sneg : je voulais parler de $a$, pas de $\alpha$ désolé. Si tu décomposes $a$ en facteurs premiers, ta congruence signifie que l'exposant auquel apparaît $p_1$ est $2 \alpha$, celui de $p_2$ est $2 \beta$ et celui de $p_3$ est $2 \gamma$. Bref, c'est rigoureusement la même chose.

Sneg

Merci, babsgueye et Poirot.
Cela dit, malgré tout, quelque chose m’intrigue encore. Alors, si vous le permettez, je reviendrai demain avec la congruence exacte. J’ai peur de commettre une erreur.
Merci d’avance.

babsgueye

Le théorème des restes chinois t'assure que le système a une solution, et que la plus petite solution est donnée par l'équivalence de départ.

Poirot

Bien sûr que le théorème chinois donne le résultat, mais à nouveau c'est bien plus simple que ce théorème puisqu'on parle juste de divisibilité par des puissances de nombres premiers.

babsgueye

Oui, je sais que ça se démontre facilement. C'était juste pour lui donner quelque chose de rassurant.