Algèbre linéaire et corps quelconque...?

dans Algèbre
Bonsoir à tous,
J'ai une question un peu vague (et surtout très large) que je vais essayer d'expliquer le mieux possible.
Dans le chapitre sur les polynômes, les théorèmes dépendent des corps sur lesquels on se place. Par exemple, $\mathbb{C}$ est algébriquement clos mais pas $\mathbb{R}$. Même sans ces histoires de corps algébriquement clos, il faut faire attention au corps de base pour énoncer les théorèmes. Par exemple, pour que le degré de $P'$ soit égal à $\deg(P) - 1$, il faut entre autres que le degré de $P$ soit non nul dans le corps de base (contre-exemple: $X^2$ dans $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$).
En algèbre linéaire, je me suis quasiment toujours placé sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et dès qu'on parle (par exemple) de matrices à coefficients dans $\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ (avec $p$ premier pour avoir un corps) je ne sais plus du tout ce que j'ai le droit de dire. La question (vague) est donc: à part pour ce qui concerne la réduction (où les polynômes interviennent), est-ce que les théorèmes de base d'algèbre linéaire s'appliquent sur des corps commutatifs quelconques?
Par "théorèmes de base" j'entends ceux qu'on apprend en prépa ou en L1-L2 (chapitres concernés: espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants, systèmes linéaires, dualité).
Juste pour donner des exemples: est-ce qu'on a toujours $A =P J_r Q$ (ou $r$ est le rang de $A$ et $J_r$, $P$ et $Q$ inversibles et $J_r$ la matrice avec $r$ fois le chiffre $1$ sur la diagonales et $0$ ailleurs)? Est-ce que quand je fais un algorithme de pivot de Gauss je ne risque pas d'avoir des problèmes si je fais une somme et que je tombe à un moment sur la caractéristique du corps de base (qui me donne donc un $0$)? Est-ce que le fait qu'en caractéristique $2$ les formes $n$-linéaires alternées ne soient pas égales aux formes antisymétriques risque de poser un problème pour définir le déterminant dans $\mathcal{M}_n (\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$?
Bref, est-ce que tant que je ne fais pas de réduction je peux appliquer les théorèmes que je connais sur un corps (commutatif) quelconque, ou sinon quand dois-je me méfier?
Si la question est trop vague je ressortirai mes cours de prépa et je listerai précisément la (longue) liste des théorèmes des chapitres que j'ai listé plus haut (mais je présume qu'on a tous appris les maths grosso modo "dans le même ordre" et avec les mêmes théorèmes donc qu'on verra à peu près de quoi je parle).
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
J'ai une question un peu vague (et surtout très large) que je vais essayer d'expliquer le mieux possible.
Dans le chapitre sur les polynômes, les théorèmes dépendent des corps sur lesquels on se place. Par exemple, $\mathbb{C}$ est algébriquement clos mais pas $\mathbb{R}$. Même sans ces histoires de corps algébriquement clos, il faut faire attention au corps de base pour énoncer les théorèmes. Par exemple, pour que le degré de $P'$ soit égal à $\deg(P) - 1$, il faut entre autres que le degré de $P$ soit non nul dans le corps de base (contre-exemple: $X^2$ dans $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$).
En algèbre linéaire, je me suis quasiment toujours placé sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et dès qu'on parle (par exemple) de matrices à coefficients dans $\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ (avec $p$ premier pour avoir un corps) je ne sais plus du tout ce que j'ai le droit de dire. La question (vague) est donc: à part pour ce qui concerne la réduction (où les polynômes interviennent), est-ce que les théorèmes de base d'algèbre linéaire s'appliquent sur des corps commutatifs quelconques?
Par "théorèmes de base" j'entends ceux qu'on apprend en prépa ou en L1-L2 (chapitres concernés: espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants, systèmes linéaires, dualité).
Juste pour donner des exemples: est-ce qu'on a toujours $A =P J_r Q$ (ou $r$ est le rang de $A$ et $J_r$, $P$ et $Q$ inversibles et $J_r$ la matrice avec $r$ fois le chiffre $1$ sur la diagonales et $0$ ailleurs)? Est-ce que quand je fais un algorithme de pivot de Gauss je ne risque pas d'avoir des problèmes si je fais une somme et que je tombe à un moment sur la caractéristique du corps de base (qui me donne donc un $0$)? Est-ce que le fait qu'en caractéristique $2$ les formes $n$-linéaires alternées ne soient pas égales aux formes antisymétriques risque de poser un problème pour définir le déterminant dans $\mathcal{M}_n (\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$?
Bref, est-ce que tant que je ne fais pas de réduction je peux appliquer les théorèmes que je connais sur un corps (commutatif) quelconque, ou sinon quand dois-je me méfier?
Si la question est trop vague je ressortirai mes cours de prépa et je listerai précisément la (longue) liste des théorèmes des chapitres que j'ai listé plus haut (mais je présume qu'on a tous appris les maths grosso modo "dans le même ordre" et avec les mêmes théorèmes donc qu'on verra à peu près de quoi je parle).
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Réponses
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Pour faire court : toute la théorie de la dimension ne dépend pas du corps. Te souviens-tu d'être servi spécifiquement du fait que ton corps des scalaires est $\mathbb R$, ou $\mathbb C$, ou de caractéristique nulle dans n'importe laquelle de ces démonstrations ? En fait même les résultats de réduction sont les mêmes, il faut simplement faire attention aux critères de séparabilité des polynômes qui interviennent.
Quand tu parles du déterminant on sort de l'algèbre linéaire et on rentre dans l'algèbre multilinéaire. Là effectivement les choses peuvent se passer différemment. Par exemple l'algèbre bilinéaire en caractéristique $2$ est complètement différente des autres caractéristiques, et en général la classification des formes quadratiques dépend lourdement du corps sur lequel on se place (en fait ça dépend beaucoup de la structure des carrés dans le corps). -
@Poirot merci pour votre réponse. Par "théorie de la dimension" vous voulez dire les résultats théorique (comme existence, unicité, théorème du rang, projections, projecteurs, etc...) dans le sens où par exemple le rang d'une matrice est défini et l'existence d'un inverse est garantie pour une matrice de rang $n$ (et de taille $n$) même si on se place sur le corps $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$? Parce que si on peut parler de rang d'une matrice, ce rang n'est pas forcément le même selon le corps (donc la valeur de ce rang dépend du corps); c'est entre autres pour ça que je me demandais si la théorie dépendait du corps.
Par "critères de séparabilité", vous voulez dire l'existence d'une décomposition en facteurs irréductibles?
Enfin pour le déterminant, peut-on le définir et l'utiliser sans risque quand le corps de base est $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$? Je pense notamment à un exercice où on demande de montrer qu'une matrice de taille $2n$ avec des $0$ sur la diagonale et des $\pm 1$ partout ailleurs est inversible; le corrigé que j'ai considère la matrice comme à coefficients dans $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ (ce qui transforme tous les $-1$ en $+1$) et calcule ensuite le déterminant dans $\mathcal{M}_n (\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z})$ avec les mêmes propriétés que d'habitude. Pourquoi a-t-on le droit de le faire? Est-ce par exemple en contradiction avec le fait que les formes antisymétriques et alternées ne coïncident pas en caractéristique $2$? -
Bonsoir,adrien2019 a écrit:Parce que si on peut parler de rang d'une matrice, ce rang n'est pas forcément le même selon le corps (donc la valeur de ce rang dépend du corps)
Non. Le déterminant d'une matrice carrée est indépendant du corps dans lequel ont voit les coefficients : si $K,L$ sont deux corps avec $K\subset L$ et $M\in{\cal M}_n(K)$, alors $\det_{{\cal M}_n(K)}(M)=\det_{{\cal M}_n(L)}(M)$. Ça vient de la formule explicite du déterminant. Donc l'inversibilité d'une matrice carrée ne dépend pas du corps dans lequel ont voit les coefficients de la matrice. Et enfin, le rang d'une matrice est la taille maximale d'une sous-matrice carrée inversible, donc le rang d'une matrice est lui aussi indépendant du corps. -
Pour le rang, Calli t'a répondu, ça ne dépend nullement du corps. Attention à ne pas croire qu'une matrice de rang $p$ en caractéristique $p$ est de rang $0$. :-Dadrien2019 a écrit:Par "critères de séparabilité", vous voulez dire l'existence d'une décomposition en facteurs irréductibles?
L'existence d'une telle décomposition est vraie sur tout corps. Ce que je veux dire par là c'est que le fait d'être à racines simples (autrement dit séparable) dans une clôture algébrique dépend bien du corps. Par exemple une matrice à coefficients entiers (pour simplifier la suite) dont le polynôme minimal est $X^p-1$ est diagonalisable dans $\mathbb C$ mais non trigonalisable dans $\mathbb Q$, tandis que cette même matrice vue à coefficients modulo $p$ n'est pas diagonalisable, même sur une clôture algébrique de $\mathbb Z/p \mathbb Z$, par contre elle est trigonalisable dans $\mathbb Z/p \mathbb Z$.
Le déterminant a aussi toutes les propriétés que tu connais dans n'importe quel corps (notamment sa multiplicativité et le fait qu'une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul). Il se trouve simplement que le caractère alterné et le caractère antisymétrique ne coïncident pas en caractéristique $2$. -
@Calli bonsoir. Je crois que si le rang dépend du corps. Exemple simple: on se place dans $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$. La matrice diagonale de taille $n$ avec que des $p$ sur la diagonale est inversible dans $\mathbb{R}$ (donc de rang $n$), mais est nulle (donc de rang $0$) dans $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ car $p=0$ dans ce corps. Ou alors je fais une erreur de raisonnement?
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Relis le message de Calli, on parle de corps contenant ton corps de départ!
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J’ajoute à ce que dit Calli, que c’est d’ailleurs bien pour ça que la définition du polynôme caractéristique de $M$ $\det (M-XI)$ a un sens. Et oui, on est en train de parler du déterminant d’une matrice à coefficients dans un corps $L$(notations de Calli) où $L$ n’est ici autre que $K(X)$!
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@Amathoué oui mais ce n'était pas ma question. Quand je disadrien2019 a écrit:ce rang n'est pas forcément le même selon le corps
je ne parle pas nulle part d'un corps et d'un sous-corps: je parle de deux corps quelconques (j'ai bien vu que Calli me répondait sur un sous-corps, mais ce n'était pas vraiment ce que je disais). -
$\def\rg{\mathop{\rm rg }}$Ton exemple est juste, mais il ne rentre pas dans ce que je disais. Je disais que si $K,L$ sont deux corps avec $K\subset L$, alors $\rg_{{\cal M}_n(K)}(M)=\rg_{{\cal M}_n(L)}(M)$. Mais dans ton exemple, tu regardes $K=\Bbb R$ et $L=\Bbb Z/p\Bbb Z$ et il n'y a aucune inclusion entre ces corps.
En fait le cadre de ton exemple est plutôt les matrices à coefficients entiers (${\cal M}_n(\Bbb Z)$), qui peuvent aussi être vu comme à coefficients dans n'importe quel corps. Comme $\Bbb Z$ n'est pas un corps, on n'est plus totalement dans l'algèbre linéaire.
Édit : Je n'avais pas vu les trois derniers messages. -
@Calli d'accord. Donc en fait le problème vient du fait que $1 \in \mathbb{R}$ et $\bar{1} \in \mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ ne désignent pas les mêmes objets mathématiques? Mais par contre ça ne répond pas à ma question sur le corrigé que j'ai vu où on passe dans $\mathcal{M}_n (\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z})$ pour calculer le déterminant avec les règles standards de multilinéarité (là par contre $\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}$ n'est pas un sous-corps de $\mathbb{R}$)... si?
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Adrien2019, quand tu disadrien2019 a écrit:ce rang n'est pas forcément le même selon le corps
la seule façon d'interpréter la question qui fait sens dans le cas général est de se placer dans le cas de deux corps inclus l'un dans l'autre. Le cas des matrices à coefficients entiers est très particulier. D'ailleurs, parler du déterminant dans$\def\zpz{\Bbb Z
/p\Bbb
Z
}
$ $\zpz$ d'une matrice à coefficients entiers est un abus de langage car la réduction de la matrice dans $\zpz$ n'est pas égale ou même identifiable à la matrice d'origine (car l'application canonique$\def\m{{\cal M}_n(}$ $\m\Bbb
Z
)\to \m\zpz)$ n'est pas une injection).
Édit : Je n'avais pas vu le message précédent. -
Adrien2019 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2140804,2141006#msg-2141006 pour le déterminant.
Dans ce cas là il s'agit de contraposition.
Soit $p$ premier.
Si une matrice a un déterminant nul dans $\R$, alors sa réduite modulo $p$ a un déterminant nul.
Par contraposition.
Si la réduite modulo $p$ d'une matrice a un déterminant non nul dans $\Z/p\Z$ alors son déterminant est non nul dans $\R$.
Pareillement
Si un polynôme se factorise dans $\Q$, alors réduit modulo $p$ il de factorise
Par contraposition
Si modulo $p$ un polynôme est irréductible, alors il est irréductible sur $\Q$
Alain
[Ajout en rouge.] -
adrien2019 a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2140804,2141042#msg-2141042
@Calli d'accord. Donc en fait le problème vient du fait que $1 \in \mathbb{R}$ et $\bar{1} \in \mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ ne désignent pas les mêmes objets mathématiques ?
Je te renvoie à mon message précédent. Je n'irai pas jusqu'à dire que c'est un "problème".
Mais par contreadrien2019 a écrit:ça ne répond pas à ma question sur le corrigé que j'ai vu où on passe dans $\mathcal{M}_n (\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z})$ pour calculer le déterminant avec les règles standards de multilinéarité (là par contre $\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}$ n'est pas un sous-corps de $\mathbb{R}$)... si ?
Là on utilise deux choses. La première c'est $\det_{\R}(M) = \det_{\Z}(M)$ pour une matrice à coefficients entiers car on a l'inclusion d'anneaux $\Z \subset \R$. C'est le même argument que pour les inclusions de corps (dans un anneau, on définit le déterminant par sa formule explicite). Ensuite, si $f$ est la projection de $\Z$ vers $\Z/2\Z$, on a $\det_{\Z/2\Z} \big(f(M)\big) = f\big(\det_{\Z}(M)\big)$. Donc si $\det_{\Z/2\Z} \big(f(M)\big)$ est non nul, $\det_{\R} (M)$ aussi.
PS. Je n'en peux plus de devoir taper du Latex sur téléphone, donc ce sera sans.
[Pour cette fois, je fais le boulot. :-D AD]
Édit : Je n'avais pas vu le message précédent. Décidément, j'écris vraiment lentement sur portable. -
AD: Ça n'est pas facile de réduire modulo p un nombre rationnel. Ou alors il y a des choses que tu ne dis pas ? :-S
-
Si le dénominateur est premier avec $p$, quel est le problème ?
-
Calli. En effet je n'ai pas précisé $p$ premier.
Des fractions rationnelles multipliées par le ppcm de leurs dénominateurs (dont la plupart du temps on n'a pas nécessité de calculer l'inverse) sont en fait des entiers.
Alain -
Bonjour,
Merci pour vos réponses! Ça m'a l'air un peu plus clair (mais c'est quand même complexe ces histoires! ^^).
J'ai relu ce matin mon cours sur le déterminant. Je vous soumets ma conclusion pour être certain de ne pas me tromper.
La seule notation non évidente que j'utilise est $\mathcal{A}_n (E)$: l'ensemble des formes $n$-linéaires alternées sur $E$ (je pense que vous comprendrez les autres notations).
On a les résultats suivants:
1) Les formes $n$-linéaires alternées sont TOUJOURS antisymétriques.
2) SI LA CARACTÉRISTIQUE DE $\mathbb{K}$ EST DIFFÉRENTE DE 2, alors on a la réciproque.
3) Si $\dim (E) = n$, alors $\dim ( \mathcal{A}_n (E) ) = 1$, et si $\mathcal{B}$ est une base de $E$, le déterminant dans la base $\mathcal{B}$ est l'unique vecteur de $\mathcal{A}_n (E)$ qui vaut $1$ en $\mathcal{B}$.
Ainsi, le déterminant est défini comme une application $n$-linéaire ALTERNÉE, et est donc antisymétrique, quel que soit le corps de base (du moment qu'il est commutatif, mais je ne crois pas qu'on puisse faire de l'algèbre linéaire sur un corps non commutatif... si?). En particulier, il n'y a pas de problème à définir un déterminant et à utiliser ses propriétés habituelles lorsque $\mathbb{K} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
Est-ce que c'est bien ça? -
On peut faire de l'algèbre linéaire sur n'importe quel anneau, ça s'appelle la théorie des modules. En particulier on peut faire de l'algèbre linéaire sur un corps non commutatif, mais bien sûr tout ne se passe comme sur un corps.
-
Bonjour,
Je vais ajouter un peu de complexité.
On peut faire de l'algèbre linéaire, disons sur une anneau commutatif quelconque $A$. On parle alors de $A$-module plutôt que d'espace vectoriel. Est-ce une complication sans intérêt ? Non.
Si on réfléchit bien, quand on définit le polynôme caractéristique d'une matrice $M$ à coefficients réels, on calcule $\det(XI_n-M)$, c'est-à-dire le déterminant d'une matrice qui est à coefficients dans l'anneau de polynômes $\mathbb R[X]$.
Le calcul du déterminant d'une matrice carrée $M$ se fait pour une matrice à coefficients dans n'importe quel anneau commutatif $A$. Le déterminant $\det(M)$ est un élément de $A$. Si on a ensuite un morphisme d'anneaux commutatif $f:A\to B$ et qu'on note $f(M)$ la matrice à coefficients dans $B$ obtenue en appliquant $f$ aux coefficients de $M$, on a $\det(f(M)) =f(\det(M)$. C'est parce que le déterminant est un polynôme à coeffcients entiers en les coefficients.
Par exemple pour $A=\mathbb Z$, on peut calculer le déterminant d'une matrice à coefficients entiers : c'est un entier. Ensuite on peut envoyer cette matrice dans $\mathbb R$, ou dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$. Le déterminant peut être non nul dans le $\mathbb R$ et nul dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
Une matrice carrée à coefficient dans $A$ est inversible sur $A$ si et seulement si sont déterminant est un élément inversible de $A$ : les matrices à coefficients entiers inversibles sur $\mathbb Z$ sont celles de déterminant $\pm1$. C'est parce que la formule de la comatrice est valable sur n'importe quel anneau commutatif. Et si $M$ est inversible sur $A$, $f(M)$ est inversible sur $B$.
L'algèbre linéaire sur un anneau commutatif présente tout de même pas mal de complications par rapport à ce qui se passe sur un corps, du fait qu'il ne suffit pas qu'un élément de l'anneau soit non nul pour qu'il soit inversible. Les raisonnements sur la théorie de la dimension, l'existence de bases, doivent être complètement revisités.
Et on peut faire aussi de l'algèbre linéaire sur les corps gauches, notamment sur les quaternions (ça sert des fois). La théorie de la dimension ne pose pas trop de problèmes, mais le manque de commutativité rend les choses assez délicates pour le déterminant, par exemple. -
AD : Merci pour le Latex ! Et c'est bon, j'ai compris ce que tu voulais dire par cette histoire de factorisation dans $\Bbb Q[X]$ et pourquoi c'est vrai.
Amathoué : Moi je ne suis pas habitué ! J'écris mes messages sur ordinateur 90% du temps. :-)
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