Variations d'une fonction

Sneg

Bonjour,

Autant vous prévenir tout de suite, je n'y connais rien du tout en analyse. Alors, je me disais que quelqu'un voudrait peut-être bien calculer pour moi le comportement de la fonction : $f(x)=\dfrac{2^x+1}{x^2}$.

D'avance, mille mercis.
Pardon, si vous trouvez que j'exagère.

gerard0

Bonjour.

Oui, tu exagères un peu. On peut déjà faire pas mal avec des outils de lycée, sans être "fort en analyse". Et comme cette fonction n'est pas élémentaire, il faut que tu nous dises en quoi son "comportement " t'intéresse. Au voisinage de 0 ? vers +oo ? ou -oo ? ou quoi d'autre ?

Cordialement.

jean lismonde

bonjour

ta fonction est définie pour x différent de zéro et f(x) reste strictement positive sur cet intervalle

ta dérivée s'écrit : $f'(x) = \frac{2^x}{x^3}[x.ln2 - 2 - 2^{1 - x}]$

elle s'annule pour une valeur a de x strictement supérieure à 2
en effet si tu traces les deux courbes représentatives de g(x) = xln2 - 2 et $h(x) = 2^{1-x}$
tu constates qu'elles se coupent en un seul point d'abscisse a > 2

ta dérivée non définie pour x = 0 est positive de - oo à 0, négative de 0 à la valeur a > 2, et positive au delà

tu en déduis les variations de f connaissant les limites : +oo en +oo et 0+ en - oo et aussi +oo autour de 0

f admet un minimum m pour x = a, minimum strictement positif

cordialement

Sneg

Un grand merci d’être intervenus à gerard0 et à jean lismonde.
Mais surtout à jean lismonde !! :-)