Mesure produit

Bonjour,

Je me place sur un espace probabilisé $\left(\Omega \times \Omega^{*}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{F}^{*}, \mathbb{P} \times \mathbb{P}^{*}\right)$, et je considère $X^*$ et $(X_n^*)$ définies sur cet espace, à valeurs dans $R^d$.

Je considère une fonction $f$ borélienne telle que $P(X^* \in C_f) = 1$, où $P$ est la mesure produit, et $C_f$ l'ensemble des points de continuité de $f$.

Je veux montrer que :

Si $X_n^*$ converge faiblement vers $X^*$ $\mathbb{P}$-presque-sûrement, alors $f(X_n^*)$ converge faiblement vers $f(X^*)$ $\mathbb{P}$-presque-sûrement.

Par hypothèse, je dispose de $A \in \mathcal{F}$ telle que $\mathbb{P}(A) = 1$ et $\forall w \in A X_n^*(w, -)$ converge faiblement vers $X^*(w, -)$, et de $B \in \mathcal{F} \otimes \mathcal{F}^{*}$ telle que $P(B) = 1$ et $\forall (w, w^*) \in B P(X^*(w, w^*) \in C_f) = 1$.

J'aimerais alors me placer sur A intersecté avec la projection de B sur $\Omega$, montrer que la $\mathbb{P}$robabilité de cette intersection est 1, et conclure avec le théorème usuel ($\textit{Continuous mapping theorem}$ dans mon cours).

(1) Mais dès le début du raisonnement je bloque. En effet, par définition de la tribu produit, je sais que la projection est une application mesurable, mais je n'arrive pas à démontrer que le projeté est mesurable.



(2) Sinon, quand j'écris complètement les choses, je cherche en fait C telle que $\mathbb{P}(C) = 1$ et $\forall w \in C \mathbb{P}^{*}(X^*(w, -) \in C_f) = 1$
J'écris alors $P(X^* \in C_f) = 1$ équivaut à indicatrice de ($X^* \in C_f$) = 1 P-ps, donc en intégrant par rapport à la mesure étoile, j'obtiens espérance de (indicatrice de ($X^* \in C_f$)) = 1 (?? $\mathbb{P}$-ps ??).
Les ?? signifient que je ne sais pas si ce que je dis est vrai. J'ai l'impression que je retombe sur le problème (1) car en intégrant par rapport à la mesure étoile, il ne me reste que le projeté sur $\Omega$.

Voilàn j'ai l'impression de louper qqch, donc toute aide est la bienvenue !

Merci d'avance,

Ram

(En espérant que le Latex convienne à Gérard :-D)

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