Groupe de Picard/groupe des classes

senpai

Bonsoir,

Soit $A$ un anneau commutatif noethérien intègre. Si $P$ est un $A$-module projectif de type fini de rang 1, il est isomorphe à un idéal fractionnaire de $A$ que je note $I_P$. Par ailleurs, deux idéaux fractionnaires de $A$ sont isomorphes si et seulement si ils sont égaux dans $\mathcal C(A)$ (le monoide des classes de $A$). Cela permet de définir une application:
\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
Pic(A) & \to & \mathcal C(A) \\
[P] & \mapsto & [I_P]
\end{array}
\end{equation}
J'aimerais montrer que cette application est un morphisme de monoide. Pour cela, si $P$ (resp. $Q$) est un $A$-module projectif de rang 1 et si $I_P$ (resp. $I_Q$) est un idéal fractionnaire de $A$ tel que $P\simeq I_P$ (resp. $Q\simeq I_Q$), j'aimerais montrer que $I_P\otimes I_Q\simeq I_PI_Q$. Je suis bloqué à cette étape. On peut définir naturellement une application $A$-bilinéaire surjective $\mu:I_P\times I_Q\to I_PI_Q$, $(x,y)\mapsto xy$, ce qui entraine l'existence d'une application linéaire surjective $I_P\otimes I_Q\to I_PI_Q$ envoyant $x\otimes y$ sur $xy$. Comment montrer que cette application est aussi injective ? Merci.

Maxtimax

Indication : $I_P$ est projectif donc plat

senpai

Merci Maxtimax, je pense que c'est ce que je n'ai pas vu.

senpai

J'ai réussi à montrer que cette application est un isomorphisme. Cependant, j'ai dû supposer que $A$ est de Dedekind et non plus simplement intègre noethérien pour pouvoir montrer que $I_P$ est projectif. Y a-t-il un moyen de voir que $I_P$ est projectif dans le cas où $A$ est simplement noethérien intègre ?

claude quitté

$\def\Cl{\text{Cl}}\def\Pic{\text{Pic}}$Bonjour Senpai.
C'est quoi cette histoire de monoïde des classes de $A$ ? Cela ne serait pas plutôt le groupe $\Cl(A)$ des classes d'idéaux inversibles de $A$ ? Et l'application naturelle, ellle est définie dans l'autre sens, quelque soit l'anneau commutatif $A$
$$
\Cl(A) \to \Pic(A), \qquad \mapsto \text {classe de } I \text { dans } \Pic(A)
$$Est ce que les ingrédients qui interviennent ici sont clairs et même super clairs ?

Ok, ce n'est pas ta question mais c'est ma réponse.

Maxtimax

Senpai : nah par définition $I_P \cong P$, qui est supposé projectif de rang $1$ :-S

senpai

Bonjour, oui Maxtimax ma question était débile... je devrais arrêter de faire des maths aussi tard, je ne vois plus rien passée une certaine heure :-(

Ensuite Claude, je parlais de monoide des classes car il me semble que ce quotient n'est pas un groupe lorsque $A$ n'est pas Dedekind. N'existe-t-il pas des idéaux fractionnaires non inversibles lorsque $A$ n'est pas Dedekind ? C'est assez nouveau pour moi, je fais peut être erreur.

Ensuite justement, pour définir une flèche dans l'autre sens, n'a t-on pas besoin qu'un idéal fractionnaire soit projectif sur $A$ ? C'est plutôt là que se situait ma question.

claude quitté

Senpai,

On se limite aux idéaux inversibles (relis mon post). Sais tu ce qu'est un idéal inversible $I$ de $A$ ? Sais tu montrer qu'un tel idéal est un module projectif de rang 1 ?

Mais tout compte fait, si tu veux en rester à ton module projectif $P$ de rang 1 qui est isomorphe à un idéal fractionnaire (??) $I_P$ ...etc..., cela évitera que l'on se fatigue.

senpai

Claude.

Ah oui on se limite aux idéaux inversibles. Pour moi, un idéal $I$ de $A$ est inversible si il existe un idéal $J$ de $A$ tel que $IJ=A$. En revanche je ne sais pas montrer qu'un tel idéal est projectif de rang 1 ...

claude quitté

Senpai

Dans quoi je me suis lancé, j'aurais mieux fait de me taire.

As tu conscience que ``ton idéal $I_P$'' est inversible ? Que montrer qu'un idéal inversible est un module projectif de rang 1 c'est infiniment plus simple que de montrer qu'un module projectif de rang 1 est isomorphe à un idéal (inversible) ? ....etc..

Peut-être que l'on peut laisser les choses dans l'état, cela reposera tout le monde.

senpai

Claude.

Tu as sûrement raison, je vais en rester là pour le moment et je reprendrai plus tard. Ce n'est pas assez clair dans ma tête pour le moment...

claude quitté

Senpai

Ce n'est pas exactement ce que je souhaitais. Je voulais plutôt que l'on reparte dans le bon sens : du groupe des classes d'idéaux inversibles de $A$ vers le groupe de Picard de $A$. Et j'ai eu un peu la flemme pensant que tu n'en n'avais pas envie. Je me demande d'ailleurs si tu savais que ``ton $I_P$'' était inversible (tes posts laissent penser que non).

Je te propose la chose suivante. Soit $I$ un idéal inversible de $A$. Par définition, il existe un idéal $J$ de $A$ tel que $IJ = aA$ avec $a$ régulier. Ainsi je reste dans $A$ sans aller dans l'anneau total des fractions de $A$. Il y a donc des éléments :
$$
a_1, \cdots, a_n \in I, \qquad b_1, \cdots, b_n \in J, \qquad a = \sum_i a_ib_i, \quad a_i b_j \in aA
$$OK ?
On (= toi) va montrer que $I = \langle a_1, \cdots, a_n\rangle$ mais pas n'importe comment. Je note $\alpha = [a_1, \cdots, a_n] : A^n \to A$ la forme linéaire qui réalise $e_i \mapsto a_i$. Soit $x \in I$ ; si i tu arrives à expliciter $x_1, \cdots, x_n \in A$ tels que
$$
x = \alpha \left[ \matrix {x_1 \cr \vdots \cr x_n} \right]
$$on est sauvé. Car on aura montré que $I = \langle a_1, \cdots, a_n\rangle$ mais surtout on sera à deux doigts du fait que $I$ est un module projectif de rang 1. Que je dis.

A toi de voir.

senpai

Bonjour Claude, j'avais apparemment mal interprété ton dernier message. Je serais au contraire ravi d'en savoir plus. Je répondrai à ton message quand j'aurai un peu de temps.

senpai

Je reprends donc avec tes notations, $A$ un anneau commutatif quelconque. Je note $I':=\{z\in A\mid zI\subset aA\}$. D'abord, montrons que $J=I'$. Soit $z\in J$. Alors pour tout $x\in I$, $zx\in aA$ car $IJ=aA$. Donc $zI\subset aA$. Ainsi $z\in I'$. Réciproquement soit $z\in I'$. Comme $a=\sum_{i} a_ib_i$, on peut écrire :
\begin{equation}
za=\sum_i za_ib_i.

\end{equation} Par définition de $I'$, $za_i\in aA$ pour tout $i$. Pour tout $i$, il existe donc $c_i\in A$ tel que $za_i=ac_i$. L'équation précédente se réécrit alors :
\begin{equation}
za=\sum_i ac_ib_i=a\sum_i c_ib_i.

\end{equation} Donc $a(z-\sum_i c_ib_i)=0$ et comme $a$ est régulier, on en déduit que $z=\sum_i c_ib_i$. Comme $J$ est un idéal et que $b_i\in J$, on a donc $z\in J$. D'où $J=I'$.

Soit maintenant $x\in I$. On peut alors écrire :
\begin{equation}
ax=\sum_i xb_ia_i.

\end{equation} D'après ce qui précède, $xb_i\in aA$, car $b_i\in J$. On a donc $xb_i=ac_i$, avec $c_i\in A$. Cela donne alors :
\begin{equation}
ax=\sum_i ac_ia_i=a\sum_i c_ia_i.

\end{equation} À nouveau par régularité de $a$, on en déduit que $x=\sum_i c_ia_i$. Ainsi, $x$ est l'image de $(c_1,\ldots,c_n)$ par $\alpha$. On en conclut que $\alpha:A^n\to I$ est surjective et que $(a_1,\ldots,a_n)$ engendre $I$.

claude quitté

$\def\Id{\text{Id}}\def\Im{\text{Im}}\def\Cl{\text{Cl}}\def\Pic{\text{Pic}}$OK. Je me permets de réécrire ce que tu as trouvé en remplaçant ton $c_i$ par ce qu'il est i.e. $xb_i/a$. Dans l'intention de mieux voir la dépendance linéaire en $x$. Bien entendu, il s'agit d'un ``quotient exact'' parce que $x \in I$. Bref, je réécris. Et de manière lourdingue car je vais réécrire 3 à 4 fois. Pour $x \in I$ :
$$
x = \sum_i {xb_i \over a} a_i \quad \text{ou encore} \quad x = \alpha \left[\matrix {xb_1/a \cr \vdots \cr xb_n/a}\right] \quad \text{ou encore} \quad
x = \alpha(s(x)) \quad \text{avec} \quad s : I \to A^n \quad s(x) = \left[\matrix {xb_1/a \cr \vdots \cr xb_n/a}\right]
$$Ou encore (c'est la dernière), histoire de résumer avec encadrement
$$
\fbox{$\Id_I = \alpha \circ s$} \qquad \alpha : A^n \twoheadrightarrow I, \qquad s : I \to A^n
$$Autrement dit, on a exhibé une SECTION $s$ de $\alpha$. C'est un truc qui est bon pour l'aspect ``projectif''. Je te laisse vérifier que

1. $s \circ \alpha : A^n \to A^n$ est un projecteur.

2. $\Im(s) = \Im(s \circ \alpha)$ donc $\Im(s)$ est un module projectif (facteur direct dans $A^n$).

3. Les applications linéaires $\alpha : \Im(s) \to I$ et $s : I \to \Im(s)$ sont réciproques l'une de l'autre. En particulier $I \simeq \Im(s)$ est projectif de type fini.

4. Restera à vérifier le rang 1. Je note $P = (p_{ij})$ la matrice de $s \circ \alpha$ dans la base canonique de $A^n$. Que vaut $p_{ij}$ ?

Une fois vérifié le rang 1 (autre post), on aura défini, modulo des choses à vérifier encore, un morphisme de groupes abéliens :
$$
\Cl(A) \to \Pic(A)
$$Et on verra qu'il est toujours injectif. Et que c'est souvent un isomorphisme.

Note 1 : il n'y a plus de calcul maintenant. Note 2 : on prend son temps en faisant des petites choses simples. Note 3 : pas obligé de poster les détails, tu peux dire ok. Je veux quand même voir $p_{ij}$.