Un résultat d'approximation

Magnéthorax

Bonjour,

J'ai démontré un résultat et, comme je manque de culture en analyse, je voulais demander un avis : est-ce déjà connu ? Est-ce intéressant ?

Soit $N$ dans $\N^*$. Soit $K$ une partie compacte de $\R^N$. On note $\mathcal{F}$ l'anneau des fonctions réelles définies sur $K$. Soit $\mathcal{A}$ le sous-anneau de $\mathcal{F}$ formé des fonctions polynômes à coefficients rationnels, c'est-à-dire des $u$ dans $\mathcal{F}$ pour lesquelles il existe $p\left(X_1,\ldots,X_N\right)$ dans $\Q\left[X_1,\ldots,X_N\right]$ tel que
$$
\forall x=\left(x_1,\ldots,x_N\right)\in K ,\qquad u(x)=p(x_1,\ldots,x_N).

$$ Proposition
Soient $g\left(X_1,\ldots,X_N\right)$ et $h\left(X_1,\ldots,X_N\right)$ dans $\Q\left[X_1,\ldots,X_N\right]$ tels que pour tout $x$ dans $K$ on a $g\left(x\right)>0$ et $h\left(x\right)>0$. Soit $f$ la fonction définie sur $K$ par $f=g/h$. On peut définir itérativement une suite croissante de fonctions polynômes à coefficients rationnels $\left(u_n\right)$ telle que $\left\|f-u_n \right\|_\infty = O \left(\rho^n\right)$ avec $\rho$ dans $\left[0,1\right[$.

Merci,
M

Edit : les $u_n$ à coefficients rationnels.

Amathoué

Il me semble que tu as même « mieux »: le théorème de Chudnovsky.
Après, ce qui serait intéressant à mon avis est un Chudnovsky sur $\R^N$...

Magnéthorax

Bonjour Amathoué,

Je te remercie pour ta réponse. J'insiste sur deux points : il s'agit d'un résultat "constructif" et la vitesse de convergence est géométrique.

M

Magnéthorax

Bonjour tout le monde,

J'améliore un peu :
Soit $N$ dans $\N^*$. Soit $K$ une partie compacte de $\R^N$. L'anneau $\Q\left[X_1,\ldots,X_N\right]$ s'identifie à un sous-anneau $\mathcal{A}$ de $\mathcal{F}$, l'anneau des fonctions réelles définies sur $K$.
Proposition. Soient $g$ et $h$ dans $\mathcal{A}$ tels que $g>0$ et $h>0$. Soit $k$ dans $\N^*$. Soit $f$ la fonction définie sur $K$ par $f=\left(g/h\right)^{1/k}$. On peut définir itérativement $\left(u_n\right)$ une suite croissante de $\mathcal{A}$ telle que $\left\|f-u_n \right\|_{\infty} = O \left(\rho^n\right)$ avec $\rho$ dans $\left[0,1\right[$.