Théorie de la mesure

dans Les-mathématiques
Bonjour
Je reviens avec de la théorie de la mesure en effet il y a une chose que je ne comprend pas.
On considère une suite de fonctions mesurable
$(f_{n}:(X,\mathcal{A})\rightarrow (\overline{\R},\mathcal{B}(\overline{\R)})$
On considère la fonction $$sup_{n \in \N}(f_{n})$$
On veut montrer qu 'elle est mesurable.
Dans mon cours le prof écris:
pour tout $ a \in \R $ on a
$$ \lbrace sup_{n \in \N}(f_{n}) > a \rbrace=\bigcup_{n \in \N} \lbrace f_{n} > a \rbrace$$
donc $sup_{n \in \N}(f_{n})$ mesurable
moi j' ai ecris en refaisant la demo
$$ \lbrace sup_{n \in \N}(f_{n}) \geq a \rbrace=\bigcup_{n \in \N} \lbrace f_{n} \geq a \rbrace$$ ce qui d' après mes notes ne prouve pas que f est mesurable.
Je ne comprends pas pourquoi le fait de remplacer l' inégalité stricte par une inégalité large rend caduque la démonstration .Pourriez vous me dire pourquoi ce la ne marche pas (ce qui est faux)
merci d' avance
francois
PS: pour Hadrien je pense que ton contre exemple marche mais j' arrive ps a demontré qu' il n' est pas mesurable.
Je reviens avec de la théorie de la mesure en effet il y a une chose que je ne comprend pas.
On considère une suite de fonctions mesurable
$(f_{n}:(X,\mathcal{A})\rightarrow (\overline{\R},\mathcal{B}(\overline{\R)})$
On considère la fonction $$sup_{n \in \N}(f_{n})$$
On veut montrer qu 'elle est mesurable.
Dans mon cours le prof écris:
pour tout $ a \in \R $ on a
$$ \lbrace sup_{n \in \N}(f_{n}) > a \rbrace=\bigcup_{n \in \N} \lbrace f_{n} > a \rbrace$$
donc $sup_{n \in \N}(f_{n})$ mesurable
moi j' ai ecris en refaisant la demo
$$ \lbrace sup_{n \in \N}(f_{n}) \geq a \rbrace=\bigcup_{n \in \N} \lbrace f_{n} \geq a \rbrace$$ ce qui d' après mes notes ne prouve pas que f est mesurable.
Je ne comprends pas pourquoi le fait de remplacer l' inégalité stricte par une inégalité large rend caduque la démonstration .Pourriez vous me dire pourquoi ce la ne marche pas (ce qui est faux)
merci d' avance
francois
PS: pour Hadrien je pense que ton contre exemple marche mais j' arrive ps a demontré qu' il n' est pas mesurable.
Réponses
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Salut;
Tu pourrais me dire est où le contre-exemple, parce que ça m'étonne vachement.... -
C'est l'égalité entre les deux ensembles qui est fausses. Tu peux méditer l'exemple suivant : on a
$\sup_{n\ge 1} -1/n \ge 0$ mais aucun des $-1/n$ n'est supérieur ou égal à $0$.
Remarque : si tu ne comprends pas pourquoi ta version est fausse, c'est peut-être que tu ne comprends pas pourquoi la version du prof est juste (as-tu fait la preuve jusqu'au bout ?). -
Pour corentin le contre exemple est dans le post fonctio mesurable mais n' a aucun rapport avec ce qui est ecris ici
Pour Probaloser il a juste balancé l' égalité et dit ça marche pas si vous remplacer par $\geq$ et merci pour ta réponse
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Bonjour!
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